2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数及其图象学案

1第1课时对数函数及其图象1．理解对数函数的概念．2．掌握对数函数的图象和简单性质．3．了解对数函数在生产实际中的简单应用．1．对数函数的概念函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝ax反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a0且a≠1.2．对数函数的图象及性质温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”．23．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得ba1dc0.1．作出函数y＝log2x和y＝log12x的图象如下：(1)函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？(2)函数y＝的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？(3)若将函数y＝log2x与y＝的图象画在同一坐标系中，其图象有什么关系？[答案](1)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是增函数(2)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是减函数(3)关于x轴对称2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.()(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．()(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)，在定义域上是增函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×3题型一对数函数的概念【典例1】指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.[思路导引]紧扣对数函数的定义判断．[解](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．依据3个形式特点判断对数函数判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.[针对训练]1．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定[解析]设对数函数的解析式为y＝logax(a0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x.[答案]A题型二对数型函数的定义域【典例2】求下列函数的定义域．(1)y＝3log2x；(2)y＝log0.54x－3；(3)y＝log0.54x－3－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．4[解](1)定义域为(0，＋∞)．(2)由4x－30，4x－3≤1，解得34x≤1，∴定义域为34，1.(3)由4x－30，4x－3≤12，解得34x≤78，∴定义域为34，78.(4)由x＋10，x＋1≠1，2－x0，解得－1x0或0x2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．求对数函数定义域的注意事项求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.[针对训练]2．求下列函数的定义域．(1)y＝log0.4x－12x－1；(2)y＝1log0.5x－1；(3)y＝loga4x－3(a0且a≠1)．[解](1)x－10，log0.4x－1≥0，2x－1≠0，解得1x≤2∴定义域为{x|1x≤2}．5(2)x－10，log0.5x－10，解得1x2∴定义域为{x|1x2}．(3)当0a1时，04x－3≤1⇒34x≤1，∴定义域为x|34x≤1；当a1时，4x－3≥1⇒x≥1，∴定义域为{x|x≥1}.题型三对数函数的图象【典例3】(1)已知a0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是()(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a0，且a≠1)的图象恒过点________．[思路导引]利用对数函数的图象特征求解．[解析](1)解法一：若0a1，则函数y＝ax的图象下降且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．若a1，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．解法二：首先指数函数y＝ax的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A、C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合．(2)因为函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．[答案](1)B(2)(0，－2)[变式]若本例(2)的函数改为“y＝loga2x＋1x－1＋2”，则图象恒过定点坐标是________．[解析]令2x＋1x－1＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y＝loga2x＋1x－1＋2过定点(－2,2)．[答案](－2,2)6处理对数函数图象问题的3个注意点(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a1，还是0a1.(3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和1a，－1.[针对训练]3．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()[解析]由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)[答案]C4.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0ab1B．0ba1C．ab1D．ba17[解析]作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0ba1.[答案]B1．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()[解析]设对数函数为y＝logax(a0，且a≠1)，由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.[答案]D2．若f(x)＝，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0∪(0，＋∞)C.－12，＋∞D.－12，2[解析]根据题意得2x＋10，2x＋1≠1，解得x∈－12，0∪(0，＋∞)．故选B.[答案]B83．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f14＝1，当x0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m＝()A．－1B．0C．1D．2[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数，f14＝1，且x0时，f(x)＝log2(－x)＋m，∴f－14＝log214＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.故选C.[答案]C4．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.[答案](4，－1)5．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[解]因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝log5x，x0，log5－x，x0.所以函数y＝log5|x|的图象如下图所示．课后作业(三十一)复习巩固一、选择题1．设函数f(x)＝1＋log22－x，x1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12[解析]由于f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.9[答案]C2．函数y＝loga(3x－2)(a0，a≠1)的图象过定点()A.0，23B．(1,0)C．(0,1)D.23，0[解析]根据对数函数过定点(1,0)，令3x－2＝1，得x＝1，∴过定点(1,0)．[答案]B3．函数f(x)＝log2(x2＋8)的值域为()A．RB．[0，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3][解析]设t＝x2＋8，则t≥8，又函数y＝log2t在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥log28＝3.故选C.[答案]C4．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如右图，则m，n的取值范围分别是()A．m0,0n1B．m0,0n1C．m0，n1D．m0，n1[解析]由图象知函数为增函数，故n1.又当x＝1时，f(x)＝m0，故m0.[答案]C5．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f12019＝4，则f(2019)的值为()A．－4B．－2C．0D．2[解析]f(x)＋f1x＝alog2x＋blog3x＋2＋alog21x＋blog31x＋2＝4，所以f(2019)＋f12019＝4，又因为f12019＝4，所以f(2019)＝0.[答案]C二、填空题6．函数f(x)＝1－2log5x的定义域为________．[解析]由1－2log5x≥0，得log5x≤12，故0x≤5.10[答案](0，5]7．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a0，且a≠1)的图象恒过定点________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．[答案](－1,3)8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．[解析]设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.[答案][0,1]三、解答题9．若函数y＝loga(x＋a)(a0且a≠1)的图象过点(－1,0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．[解](1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a0，且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋20，解得x－2，所以函数的定义域为{x|x－2}．10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．[解]∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝lgx＋1，x0，0，x＝0，－lg1－x，x0.f(x)的大致图象如图所示．11综合运用11．已知函数f(x)＝3x，x≤0，log2x，x0，那么ff18的值为()A．27B.127C．－27D．－127[解析]f18＝log218＝log22－3＝－3，ff