（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第2讲 空间几何体的表面积与体

第八章立体几何与空间向量第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_____S圆锥侧＝____S圆台侧＝_____________2πrlπrlπ(r＋r′)l2.空间几何体的表面积与体积公式表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝_____锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝_______台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝_______V＝__________S底h13S底h4πR243πR33.几个与球有关的切、接的常用结论(1)正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2r＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R′＝2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r①外接球：球心是正四面体的中心；半径R＝64a；②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)球的体积之比等于半径比的平方．()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()(5)长方体既有外接球又有内切球．()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()√××√××如图，一个空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()A．1B．12C．13D．16解析：选D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，V＝13Sh＝13×12×1×1×1＝16，故选D.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4解析：选D.由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.(教材习题改编)直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕两直角边旋转一周分别形成两个几何体，则其侧面积分别为________cm2、________cm2.答案：20π15π某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是__________cm2，体积是__________cm3.解析：由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．答案：8040(1)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()空间几何体的表面积A．17πB．18πC．20πD．28π(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．15【解析】(1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.(2)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22.【答案】(1)A(2)B空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．1．(2019·嘉兴期中)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()A．4∶3B．2∶1C．5∶3D．3∶2解析：选A.圆锥的侧面积＝π×12×120360＝π3，圆锥的底面半径＝2π×1×120360÷2π＝13，圆锥的底面积＝π·19＝π9，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝4π9，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.2．(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一长方体ABCD­A1B1C1D1中挖去一个四棱锥P­ABCD，如图所示，易得PA＝PB＝32＋（2）2＝11，所以S△PAB＝12×2×10＝10，所以表面积S＝22＋2×3×4＋4×10＝28＋410.答案：28＋410空间几何体的体积是每年高考的热点，多与三视图结合考查，题型多为选择题、填空题，难度较小．主要命题角度有：(1)求简单几何体的体积；(2)求组合体的体积．空间几何体的体积(高频考点)角度一求简单几何体的体积(1)如图，将一个长方体用过相邻的三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．【解析】(1)设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc，所以V1∶V2＝1∶47.(2)(等积法)三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VD1­EDF＝VF­DD1E＝13×12×1＝16.【答案】(1)1∶47(2)16角度二求组合体的体积(分割法)(1)(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．π2＋1B．π2＋3C．3π2＋1D．3π2＋3(2)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．【解析】(1)由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.(2)由题意知该几何体是由一个长方体和两个14圆柱体构成，其中长方体的体积V1＝2×1×1＝2，两个14圆柱体的体积之和V2＝14×π×12×1×2＝π2，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝2＋π2.【答案】(1)A(2)2＋π21．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8解析：选C.由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V＝12×(1＋2)×2×2＝6.故选C.2．(2019·宁波十校联合模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________cm3，表面积为________cm2.解析：由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为3，4的直角三角形，高为5的三棱柱，割去一个底面与三棱柱底面相同，高为3的三棱锥，所以该几何体的体积为：12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24cm3；表面积为：12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×3＋12×3×4＋5×5＋34×52＝1112＋2543cm2.答案：241112＋2534(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．3π4C．π2D．π4球与空间几何体的接、切问题(2)(2019·温州七校联考)三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝15，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．253πB．252πC．833πD．832π【解析】(1)设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以，圆柱的体积V＝34π×1＝3π4.(2)由题可知，△ABC中AC边上的高为15－32＝6，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(6－x)2，解得x＝546，所以R2＝x2＋PC22＝758＋1＝838(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝832π，故选D.【答案】(1)B(2)D若本例(2)中的△ABC变为边长为3的等边三角形．求三棱锥外接球的表面积．解：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PC为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝r2＋d2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A．66πB．π3C．π6D．33π解析：选C.平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝2，所以内切圆的半径r＝66，所以S＝πr2＝π×636＝16π.2．(2019·丽水模拟)三棱锥P­ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为()A．4B．6C．8D．10解析：选C.依题意，设题中球的球心为O、半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则4πR33＝500π3，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为R2－r2＝3，因此三棱锥P­ABC的高的最大值为5＋3＝8.(2019·金华十校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()数学文化与立体几何A．5000立方尺B．5500立方尺C．6000立方尺D．6500立方尺【解析】该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F­GBCH与三棱柱ADE­GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE­GHF割补成高为EF，底面积为S＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5000立方尺．【答案】A求解与数学文化有关的立体几何问题应过的三关我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A．4－π2B．8－4π3C．8－πD．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的