2015年中考数学第36讲-图形操作题专题复习课件课件

第36讲图形操作题第36讲┃图形操作题图形操作题可分为折叠操作题、平移旋转变换题和图形分割操作题三种类型，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．┃考向互动探究┃探究一折叠型操作题第36讲┃图形操作题例1[2014·临沂]对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图36－1①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，使点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.第36讲┃图形操作题(1)求证：∠ABE＝30°；(2)求证：四边形BFB′E为菱形．图36－1第36讲┃图形操作题【例题分层探究】(1)由第一步折叠可得到哪三条线段平行？哪些线段相等？(2)由第二步折叠可得△ABE与△A′BE有哪些相等的角？(3)由第三步折叠可得点B，A′，B′有什么位置关系？(1)由第一步折叠可得到AD∥MN∥BC，且AM＝MB，DN＝CN.(2)由第二步折叠可得△ABE≌△A′BE，由此可得∠ABE＝∠A′BE，∠AEB＝∠A′EB，∠A＝∠EA′B＝90°.(3)由第三步折叠可得点B，A′，B′在同一直线上，且点A′是线段BB′的中点．第36讲┃图形操作题【解题方法点析】解答折叠问题的关键是根据折叠前后的图形全等且关于折痕所在的直线轴对称，得到有关线段、角的位置和数量关系，从这些条件出发，经过推理论证，获得问题的答案．第36讲┃图形操作题证明：(1)由第一步折叠的过程可得AD∥MN∥BC，AM＝BM，∴EA′＝A′F(平行线分线段成比例定理)．由第二步折叠的过程可得△ABE≌△A′BE，∴∠ABE＝∠A′BE，∠A＝∠EA′B＝90°，∴∠BA′F＝∠EA′B＝90°.在△A′BE与△A′BF中，EA′＝FA′，∠BA′E＝∠BA′F，BA′＝BA′，∴△A′BE≌△A′BF(SAS)，∴∠A′BE＝∠A′BF.∵∠ABE＝∠A′BE，∠ABF＝90°，∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF＝13∠ABF＝13×90°＝30°.第36讲┃图形操作题(2)由第三步折叠知BA′＝B′A′，点B，A′，B′在同一直线上，∴B′B⊥EF.在四边形BFB′E中，EA′＝A′F，BA′＝B′A′，∴四边形BFB′E是平行四边形．∵B′B⊥EF，∴四边形BFB′E是菱形．探究二平移和旋转型操作题第36讲┃图形操作题例2如图36－2①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α.(1)当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；(2)如图36－2②，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D；第36讲┃图形操作题(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．图36－2第36讲┃图形操作题【例题分层探究】(1)图形的旋转有哪些特征？(2)在图36－2①中，当点D′恰好落在EF边上时，如何求旋转角α的值？(3)在图36－2②中，G为BC的中点，如何证明△GCD′≌△E′CD?(4)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′在什么情况下可以全等？此时的旋转角α的值是多少？第36讲┃图形操作题(1)①对应点到旋转中心的距离相等；②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都相等，都是旋转角；③旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状(旋转前后的两个图形全等)，对应线段相等，对应角相等．(2)根据旋转的性质得CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，则∠CD′E＝30°，然后根据平行线的性质即可得到α＝30°.第36讲┃图形操作题(3)由G为BC中点可得CG＝CE，根据旋转的性质得CE＝CE′，又∠D′CE′＝∠DCB＝90°，则∠GCD′＝∠DCE′＝90°＋α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD.(4)根据正方形的性质得CB＝CD，而CD＝CD′，则△DCD′与△CBD′为腰相等的两个等腰三角形，当两顶角相等时它们全等．若△DCD′与△CBD′为钝角三角形，可计算出α＝135°；若△DCD′与△CBD′为锐角三角形，可计算出α＝315°.第36讲┃图形操作题【解题方法点析】旋转有三个要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角．画旋转图形的关键是确定各顶点旋转后的位置，旋转前后各顶点相互之间的位置关系保持不变．利用这种不变性，可快速确定某些顶点旋转后的位置．第36讲┃图形操作题解：(1)∵DC∥EF，∴α＝∠DCD′＝∠CD′E.∵sinα＝CECD′＝CECD＝12，∴α＝30°.(2)证明：∵G为BC的中点，∴GC＝CE＝CE′＝1.∵∠D′CG＝∠DCG＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D′CG＝∠DCE′.又∵CD′＝CD,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′＝E′D.(3)能．α＝135°或α＝315°.探究三图形分割剪拼操作题第36讲┃图形操作题例3(1)如图36－3①，在△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，但须保留作图痕迹)；(2)已知内角度数的两个三角形如图②，③所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．图36－3第36讲┃图形操作题【例题分层探究】(1)等腰三角形有哪些性质？(2)在图36－3①中，若过点C作一条直线，交AB于点M，使∠ACM＝24°，则△BCM的三个内角分别是多少度？它是等腰三角形吗？用类似的方法，过点B和点A可以吗？(3)在图②和图③中，类似(1)，探究△ABC可能分为两个等腰三角形吗？若能，请指出如何作．第36讲┃图形操作题(1)①等腰三角形的两个底角相等，简称等角对等边；②等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边(即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合)．(2)由∠A＝24°，∠ACB＝90°可知∠B＝66°，∠BCM＝90°－∠ACM＝66°，∠BMC＝∠A＋∠ACM＝48°，所以△BCM是等腰三角形.过点B和点A作直线都不能将△ABC分割成两个等腰三角形．(3)图②过点B作一条直线交AC于M点，使∠ABM＝24°，可得到顶角分别是132°和84°的两个等腰三角形，图③无论过哪个顶点都不能分割成两个等腰三角形．第36讲┃图形操作题【解题方法点析】剪拼问题通常先给出图形(这个图形可能是规则的，也可能是不规则的)，然后将图形剪、拼成面积相同或形状相同或具有某一特点的图形．解决这类问题时可以借助对称的性质、面积公式等．,第36讲┃图形操作题解：(1)如图，直线CM即为所求．(2)图②能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°，图③不能分割成两个等腰三角形．┃考题实战演练┃第36讲┃图形操作题1．如图36－4，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形(a0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()图36－4A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm2D第36讲┃图形操作题[解析]矩形的面积为大正方形与小正方形的面积之差，即(a＋4)2－(a＋1)2＝(6a＋15)(cm2)．故选D.第36讲┃图形操作题2．[2014·绍兴]将一张正方形纸片，按如图36－5①②所示，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是()图36－5图36－6B第36讲┃图形操作题3．[2014·盐城]如图36－7，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是__________．图36－732－π4第36讲┃图形操作题4．[2013·绵阳]对正方形ABCD进行分割，如图36－8①，其中E，F分别是BC，CD的中点，M，N，G分别是OB，OD，EF的中点，沿分割线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图②就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为________．图36－814第36讲┃图形操作题[解析]连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，AC⊥EF，CF＝CE，所以△EFC是等腰直角三角形，则直线AC是△EFC底边上的高所在的直线，根据等腰三角形“三线合一”，AC必过EF的中点G，故点A，O，G和点C在同一条直线上．因为OC＝OB＝OD，OC⊥OB，FG是△DCO的中位线，所以OG＝CG＝12OC.因为M，N分别是OB，OD的中点，所以OM＝BM＝12OB，ON＝DN＝12OD，所以OG＝OM＝BM＝ON＝DN＝14BD.因为等腰直角三角形GOM的面积为1，所以12OM·OG＝12OM2＝1，OM＝2，所以BD＝4OM＝42，则2AD2＝BD2＝32，所以AD＝4.故飞机面积＝正方形ABCD的面积－三角形CEF的面积＝16－2＝14.第36讲┃图形操作题5．[2014·江西]已知四边形ABCD，请使用无刻度直尺画图．(1)在图36－9①中画一个与四边形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；(2)在图36－9②中画一个与四边形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．图36－9第36讲┃图形操作题解：(1)如图①所示，△CDE即为所求(答案不唯一)．(2)如图②所示，▱ABFE即为所求(答案不唯一)．第36讲┃图形操作题6．[2014·凉山州]如图36－10所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；(3)如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过(1)(2)变换的路径总长．图36－10第36讲┃图形操作题解：(1)△A1B1C1如图所示．(2)△A1B2C2如图所示．(3)点B的路径包括线段BB1和B1B2︵，BB1＝32＋32＝32，B1B2︵的长为90π×2180＝22π，所以路径总长为32＋22π.第36讲┃图形操作题7．[2014·宁波]课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，如图36－11①，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多种剪法，图36－11①是其中的一种方法．定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．(1)请你在图②中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)；第36讲┃图形操作题(2)在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x的所有可能值；(3)如图③，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．图36－11第36讲┃图形操作题解：(1)如图所示．(2)如图．当AD＝AE时，2x＋x＝30＋30，∴x＝20；当AD＝DE时，30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40；当AE＝DE时，不存在．∴∠C＝20°或40°.第3