教师版：专题11导数及其应用

学科网2011年高考数学必须突破的难点、重点突破精讲精练专题11导数及其应用【名师导航】2010年高考中的每一套试卷中都有对导数的考查，其中部分试卷中涉及对微积分的考查，其考查的形式，既有客观题，也有主观题，其中以客观题形式出现的主要是考查导数的运算、几何意义及导数在求解函数单调性、极值、最值等方法的应用，考查微积分的计算及在求解曲线所围成的图形的面积等方面的应用；以主观题形式出现的，则主要是结合不等式、方程、解析几何等方面的内容进行综合考查，同时也会考查等价转化、数形结合等数学思想方法与综合解题能力．如2010年辽宁卷第10题，考查了导数的几何意义及其运算；如安徽卷第17题，全国卷I第20题，考查了利用导数求解函数单调性、极值及利用导数证明不等式等综合性问题；如江苏卷第14题，湖北卷第17题，则考查了利用导数解决实际问题．因此，导数及其应用在今后的高考中，仍会成为高考的热点内容，并且随着新课程改革的继续深人，将会越来越重视导数与其他知识的综合考查．在复习中，对导数与微积分的复习，应该做到以下几点：一要注重基础．对导数与微积分的基础知识，要系统掌握，熟练应用，特别是导数的几何意义、导数在解决函数的单调性、最值、极值等方面的应用，要做到熟知方法，应用自如．二要把握思想．数学思想方法是数学知识的高度概括，是把知识转化为能力的体现，由此，对导数中体现出来的数形结合、等价转化等思想方法，要注意提炼出来，总结到位，并不断进行训练．三要加强交汇．注意导数与函数、方程、不等式等知识的交汇，导数应用于解决实际问题，要把知识与知识相互结合起来，把知识与方法也相互结合起来，以此不断提升我们综合运用所学知识解决问题的能力。【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为2121()()fxfxxx，若21xxx，21()()yfxfx则平均变化率可表示为yx。2、函数y=f(x)在x=x0处导数（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率0000()()limlimxxfxxfxyxx为y=f(x)在x=x0处导数，记作0000000()()()|,()limlimxxxxfxxfxyfxyfxxx或即（2）几何意义函数f(x)在点x处的导数0()fx的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x，0()fx）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=0()fx(x=x0).3、函数f(x)的导数称函数0()()()limxfxxfxfxx为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作y注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；0000()()()limxfxxfxfxx;方法二：先求导函数0()()()limxfxxfxfxx，再令x=x0求0()fx4、基本初等函数的导数公式5、导数运算法导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx6、复合函数的导数复合函数yfgx的导数和函数yfu，ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题1、函数的单调性与导数函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ1'nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx1'()(01)lnfxaaxa且()lnfxx'1()fxx在某个区间（a,b）内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减。如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上是常数函数。注：函数()yfx在（a,b）内单调递增，则()0fx，()0fx是()yfx在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。2、函数的极值与导数（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是极大（小）值的方法是：（1）如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，那么f(x0)是极大值．（1）如果在x0附近的左侧f’(x)0，右侧f’(x)0，那么f(x0)是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点3、函数的最值与导数函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数()yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。4、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案导数是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，高考命题在利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，突出了对能力的考查.1.利用导数处理方程问题例1设函数329()62fxxxxa．（1）对于任意实数x，()fxm恒成立，求m的最大值；（2）若方程()0fx有且仅有一个实根，求a的取值范围．【解析】(1)'2()3963(1)(2)fxxxxx,因为(,)x,'()fxm,即239(6)0xxm恒成立,所以8112(6)0m,得34m，即m的最大值为34(2)因为当1x时,'()0fx;当12x时,'()0fx;当2x时,'()0fx;所以当1x时,()fx取极大值5(1)2fa;当2x时,()fx取极小值(2)2fa;故当(2)0f或(1)0f时,方程()0fx仅有一个实根.解得2a或52a.2利用导数研究函数的图像变化规律例3已知函数3()31,0fxxaxa求()fx的单调区间；若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。【解析】（1）'22()333(),fxxaxa当0a时，对xR，有'()0,fx当0a时，()fx的单调增区间为(,)当0a时，由'()0fx解得xa或xa；由'()0fx解得axa，当0a时，()fx的单调增区间为(,),(,)aa；()fx的单调减区间为(,)aa。（2）因为()fx在1x处取得极大值，所以'2(1)3(1)30,1.faa所以3'2()31,()33,fxxxfxx由'()0fx解得121,1xx由（1）中()fx的单调性可知，()fx在1x处取得极大值(1)1f，在1x处取得极小值(1)3f因为直线ym与函数()yfx的图象有三个不同的交点，又(3)193f，(3)171f，结合()fx的单调性可知，m的取值范围是(3,1)3.利用导数证明不等式例3设函数2()ln(1)fxxbx,其中0b.(I)当12b时,判断函数()fx在定义域上的单调性;(II)求函数()fx的极值点;(III)证明对任意的正整数n,不等式23111ln(1)nnn都成立.【解析】(I)函数2()ln(1)fxxbx的定义域为1,.222'()211bxxbfxxxx，令2()22gxxxb，则()gx在1,2上递增，在11,2上递减，min11()()22gxgb.当12b时，min1()02gxb，2()220gxxxb在1,上恒成立.'()0,fx即当12b时,函数()fx在定义域1,上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当12b时函数()fx无极值点.（2）当12b时，212()2'()1xfxx，11,2x时，'()0,fx1,2x时，'()0,fx12b时，函数()fx在1,上无极值点。（3）当12b时，解'()0fx得两个不同解11122bx，21122bx.当0b时，111212bx，211212bx，121,,1,,xx此时()fx在1,上有唯一的极小值点21122bx.当102b时，12,1,,xx'()fx在121,,,xx都大于0，'()fx在12(,)xx上小于0，此时()fx有一个极大值点11122bx和一个极小值点21122bx.综上可知，0b时，()fx在1,上有唯一的极小值点21122bx；102b时，()fx有一个极大值点11122bx和一个极小值点21122bx；12b时，函数()fx在1,上无极值点（III）当1b时，2()ln(1).fxxx令332()()ln(1),hxxfxxxx则32'3(1)()1xxhxx在0,上恒正，()hx在0,上单调递增，当0,x时，恒有()(0)0hxh.即当0,x时，有32ln(1)0,xxx23ln(1)xxx，对任意正整数n，取1xn得23111ln(1)nnn点评：函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是'()0fx是12b和定义域1,共同作用的结果；（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为11,0,0.22bbb（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据()fx导函数的特点迅速判断'()0fx或'()0fx。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由'()0fx求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”.例4已知函数()ln(1)fxxx，1x，证明：11ln(1)1xxx【解析】证：函数()fx的定义域为(1,)．()fx＝11x－1＝－1xx当x∈（－1，0）时，()fx＞0，当x∈（0，＋∞）时，()fx＜0，因此，当1x时，()fx≤(0)f，即ln(1)xx≤0∴ln(1)xx．令1()ln(1)11gxxx则211()1(1)gxxx＝2(1)xx．∴当x∈（－1，0）时，()gx＜0，当x∈（0，＋∞）时，()gx＞0．∴当1x时，()gx≥(0)g，即1ln(1)11xx≥0，∴