解析几何专题之 轨迹方程问题(下)

解析几何专题之轨迹方程问题（下）主讲人:何洋北京大学北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]写在前面的话解析几何概述：解析几何是高中数学的重要内容之一，全国在这一部分的出题情况较为相似，分值约占20%，即30分左右，具体分配为：直线和圆约占6%，一般为两道小题，属容易或中档题，考试的主要内容有：倾斜角和斜率、两直线交角、对称点、点到直线距离、两条直线平行与垂直关系的判定、用二元一次不等式表示平面区域、直线和圆的方程等；圆锥曲线约占13%，题型一般为二小一大，小题基础灵活，解答难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，考试的主要内容有：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等内容。北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]写在前面的话•求轨迹方程的问题是解析几何的常考题型，难度往往较大，经常出现在高考的压轴题中。•此类问题涉及内容多，范围广，综合程度高，往往涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等多方面的内容，也常常涉及数型结合、分类讨论、等价转化等数学方法。•具有一定特点：数型结合，运算量大，综合性强。•主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析和解决问题的综合能力。•在这部分的学习中尤其要要克服畏难心理。•虽然题型灵活多变，但有一些常用方法可以总结。北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]常用方法•平方差法:求弦中点的轨迹方程用此法解决比较简便.•待定系数法(曲线系法):根据条件,求出曲线系中的待定系数而得解.•韦达定理法:利用实数系一元二次方程的韦达定理及其逆定理求轨迹方程.•参数法:根据已知条件,恰当地选择参数,建立曲线的参数方程,然后消去参数,得到动点轨迹的普通方程.•复数法:将直角坐标平面看作复平面,利用复数的知识求解轨迹方程的问题.现在复数已经不是重点考察范围,本法可不用掌握.北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]平方差法•求弦中点的轨迹方程用此法解决比较简便.基本思路是利用弦的两端点在已知曲线上将两端点的坐标带入方程.然后相减,利用平方差公式可得两端点横纵坐标的相互关系,再套用弦中点即可.•举一例说明:北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]平方差法11122212121212121212121212(,)(,)(,):2,2,PxyPxyPPxxyyxxyyyyPPPxyxxxyyyPPkx【基本思路】利用弦的两点、在已知的二次曲线上将、点的坐标代入方程,然后相减,利用平方差公式可得、、、等的关系式.由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率12121212122222111122,.,.1(2,1)2591259(2,1)(,)(,)xyyPPPxxxxxyMMPQMPQxyPQMPxyQxy由此即可得弦中点的轨迹方程用此法要注意的特殊情况以及消去的技巧【例1】已知椭圆及点，如果过点的直线截已知椭圆所得的弦被平分，求直线的方程.解：设弦的中点是，，因为222221211212212112599()184225()25181(2)251825610.PQPQxyyyxxkxxyykxxyyPQyxPQxy所以两式相减得：因为，，所以所以直线的方程是即的方程是北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]待定系数法(曲线系法)•根据条件,求出曲线系中的待定系数而得解.常用的曲线系有直线系、圆系、过两曲线交点的曲线系、有共同渐近线的双曲线系等.•举两例说明:北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]待定系数法(曲线系法)22(1)().(0)1(1)(1)()[(1)]0(2)(2)yymxmmmyaxbxcaymxmmaxbmxcmm【例2】求一条对称轴与轴平行的抛物线，使其与直线系是不为零的实数中每一条直线都相切解：设抛物线方程为…………（）把带入并整理得厖厖因为直线与抛物线相切，所以并有等根.即22222()4[(1)](41)(42)(4)014141042040214111.424bmacmmamabmbacamaabbacbcyxx对一切不为零的实数都成立.于是，，同时成立.解得故所求抛物线方成为：北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]待定系数法(曲线系法)222222(1,0)(1,0)21..||(,)2(1)2(1).||610.1||230oPMNNPMPNPMPxyxyxyPNxyxNPMMNPMN【例3】（2002年高考全国文科卷第21题）已知点到两个定点，距离的比为，点到直线的距离为求直线的方程解：设点的坐标为，由题设有，即整理得：因为点到的距离为，，所以，233(1).33410.2323.(23,13)(23,13)(23,13)(23,13).11.PMPMyxxxxxPPNyxyx直线的斜率为，直线的方程为将②式代入①式整理得：解得，代入②式得点的坐标为：或；或直线的方成为或北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]韦达定理法•利用实数系一元二次方程的韦达定理及其逆定理轨迹的方程的方法成为韦达定理法.应用韦达定理求轨迹方程，常需受到实系数一元二次方程的判别式的制约，只有将它们结合在一起，才能保证所得结果的合理性和准确性.•举一例说明:北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]韦达定理法22222230(2)4.(0,2)22()(2)4(1)30(1)22(1)30(lxyCxyCxlCyxaylxyyxaxa【例4】已知直线：及圆：，将圆在轴上滚动，求圆截所得弦的中点轨迹解：已知圆的圆心为，半径为，所以动员的圆心在直线上运动，设动圆方程为…………将：与联立，消去得：…………1212222)(,)12230522(2)[2(1)]4?(3)011221221212.2Pxyxxaxxyyyaylaaaax设所截弦的中点为，则有这是轨迹的参数方程，消去参数得，因为与圆相交，故的判别式，解得，所以故所求轨迹乃是30([12,12]).xyx直线段北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]参数法•根据给定的轨迹方程，恰当地选择参数，建立曲线的参数方程，然后消去参数，得到动点轨迹的普通方程.这种求轨迹方程的方法为参数法.用此法要注意参数的实际意义和取值范围.•上例也是参数法的应用距离.•举一例说明:北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]参数法221122211221212221212222.1(,)(,)(,)2,2()().4(14)ABaAByxABMyxyxAxyBxyMxyxxxyyyxxyyaayxx【例6】线段的长为一定值，它的两端在抛物线上移动，试求线段的中点的轨迹方程解：常规参数法：设，，，则由题设得消去参数得北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]参数法1222221122122222121222222222(,)(,)(,)2()().4(14)3121(,)214xxxAxxBxxMxyxxyxxxxaayxxxkABkbMxyykbkkbay解：简化设参数法：设，，，则由题设得：，消去参数得：解：变换思路设参：设直线的斜率为及截距作参数，设，由题设及韦达定理得，消去参数得：222.4(14)axx北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]参数法22222224(,)(,)(,).()()(2)(2).4(14)MxyAxuyvBxuyvyvxuyvxuuvaayxx解：利用对称设参数：设，，由题设得：，消去参数得：北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]写在后面的话•求轨迹问题归根到底是要得出x和y关系式。那么抽象来看只可能存在两种情况：1.x和y的关系可以直接得到，如第一、二种类型的情况；2.需要中间量联系，绝大多数题目属于这种情况，只要有x=f(u,v)和y=g(u,v)类似的关系存在，就可以求解出x和y的关系式。•因此，在做轨迹问题的题目时，关键在于把握联系x和y的桥梁，顺着桥梁求解，即便不能顺利解出，至少思路正确，可以有中间过程的分数。北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]写在前面的话•本次讲解了五种常见类型，至此关于轨迹方程问题的类型已经讲完,如果没有听过前一部分的同学可以到网上下载讲义和视频。•祝大家学习顺利！北京师范大学京师大厦9810室电话:010-5880398058803986传真:[phone]•谢谢大家