2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年湖北，文1，5分】i为虚数单位，607i（）（A）i（B）i（C）1（D）1【答案】A【解析】60741513iiii，故选A．（2）【2015年湖北，文2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）（A）134石（B）169石（C）338石（D）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为281534169254石，故选B．（3）【2015年湖北，文3，5分】命题“0(0,)x，00ln1xx”的否定是（）（A）0(0,)x，00ln1xx（B）0(0,)x，00ln1xx（C）(0,)x，ln1xx（D）(0,)x，ln1xx【答案】C【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为0,x，ln1xx，故选C．（4）【2015年湖北，文4，5分】已知变量x和y满足关系0.11yx，变量y与z正相关．下列结论中正确的是（）（A）x与y负相关，x与z负相关（B）x与y正相关，x与z正相关（C）x与y正相关，x与z负相关（D）x与y负相关，x与z正相关【答案】A【解析】因为变量x和y满足关系0.11yx，其中0.10，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设0zkybk，则将0.11yx代入即可得到：0.110.1zkxbkxkb，所以x与z负相关，综上可知，故选A．（5）【2015年湖北，文5，5分】12,ll表示空间中的两条直线，若p：12,ll是异面直线；q：12,ll不相交，则（）（A）p是q的充分条件，但不是q的必要条件（B）p是q的必要条件，但不是q的充分条件（C）p是q的充分必要条件（D）p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A【解析】若p：12,ll是异面直线，由异面直线的定义知，12,ll不相交，所以q：12,ll不相交成立，即p是q的充分条件；反过来，若q：12,ll不相交，则12,ll可能平行，也可能异面，所以不能推出12,ll是异面直线，即p不是q的必要条件，故选A．（6）【2015年湖北，文6，5分】函数256()4||lg3xxfxxx的定义域为（）（A）(2,3)（B）(2,4]（C）(2,3)(3,4]（D）(1,3)(3,6]【答案】C【解析】由函数yfx的表达式可知，函数fx的定义域应满足条件：40x，25603xxx，解之得22x，2x，3x，即函数fx的定义域为(2,3)(3,4]，故选C．（7）【2015年湖北，文7，5分】设xR，定义符号函数1,0sgn0,01,0xxxx，则（）（A）|||sgn|xxx（B）||sgn||xxx（C）||||sgnxxx（D）||sgnxxx【答案】D(2,3)(3,4]2【解析】对于选项A，右边,0sgn0,0xxxxx，而左边,0,0xxxxx，显然不正确；对于选项B，右边,0sgn0,0xxxxx，而左边,0,0xxxxx，显然不正确；对于选项C，右边,0sgn0,0,0xxxxxxx，而左边,0,0xxxxx，显然不正确；对于选项D，右边,0sgn0,0,0xxxxxxx，而左边,0,0xxxxx，显然正确，故选D．（8）【2015年湖北，文8，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,xy，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“12xy”的概率，则（）（A）1212pp（B）1212pp（C）2112pp（D）2112pp【答案】B【解析】由题意知，事件“12xy”的概率为11111222118p，事件“12xy”的概率02SpS，其中110211111ln2222Sdxx，111S，所以0211ln21121ln21122SpS，故选B．（9）【2015年湖北，文9，5分】将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）（A）对任意的,ab，12ee（B）当ab时，12ee；当ab时，12ee（C）对任意的,ab，12ee（D）当ab时，12ee；当ab时，12ee【答案】D【解析】依题意，22211abbeaa，22221ambmbmeamam，因为mbabbmabbmabamaamaamaam，由于0m，0a，0b，当ab时，01ba，01bmam，bbmaam，22bbmaam，所以12ee；当ab时，1ba，1bmam，而bbmaam，所以22bbmaam，所以12ee．所以当ab时，12ee，当ab时，12ee，故选D．（10）【2015年湖北，文10，5分】已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为（）（A）77（B）49（C）45（D）30【答案】C【解析】因为集合22,1,,AxyxyxyZ，所以集合A中有9个元素（即9个点），即、图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB3的元素可看作正方形1111ABCD中的整点（除去四个顶点），即77445个，故选C．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2015年湖北，文11，5分】已知向量OAAB，||3OA，则OAOB．【答案】9【解析】因为OAAB，3OA，22239OAOBOAOAOBOAOAOBOA．（12）【2015年湖北，文12，5分】若变量满足约束条件则的最大值是．【答案】10【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得:目标函数3zxy过点3,1B取得最大值，即max33110z，故应填10．（13）【2015年湖北，文13，5分】函数的零点个数为．【答案】2【解析】函数22sinsin2fxxx的零点个数等价于方程22sinsin02xxx的根的个数，即函数2sinsin2sincossin22gxxxxx与2hxx的图像交点个数．于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数gx与hx的图像有2个交点．（14）【2015年湖北，文14，5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.11.50.120.12.50.10.11a，解之的3a．于是消费金额在区间0.5,0.9内频率为0.20.10.80.120.130.10.6，所以消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为：0.6100006000．（15）【2015年湖北，文15，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm．【答案】1006【解析】依题意，30BAC，105ABC，在ABC中，由180ABCBACACB，所以45ACB，因为600AB，由正弦定理可得600sin45sin30BC，即3002BCm，在RtBCD中，因为30CBD，3002BC，所以tan303002CDCDBC，所以1006CDm．（16）【2015年湖北，文16，5分】如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB．（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________．,xy4,2,30,xyxyxy3xy2π()2sinsin()2fxxxx[0.3,0.9]a[0.5,0.9]4【答案】（Ⅰ）22122xy；（Ⅱ）12【解析】（Ⅰ）设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半径．又因为，所以，即，所以圆的标准方程为．（Ⅱ）令得：．设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：，解之得．即圆在点处的切线方程为，于是令0y可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为．（17）【2015年湖北，文17，5分】a为实数，函数在区间上的最大值记为．当_________时，的值最小．【答案】222【解析】解法一：因为函数2fxxax，所以分以下几种情况进行讨论：①当0a时，函数22fxxaxxax在区间0,1上单调递增，所以max1fxgaa；②当0222a时，此时222224aaaafa，11fa，而22212044aaa，所以max1fxgaa；③当222a时，2max4afxga．综上可知，212222224aagaaa，所以ga在,222上单调递减，在222,上单调递增，所以max222gag，所以当222a时，ga的值最小．解法二：①0a，11gafa；②01a，2222124110222aafagafaa；③12a，224aagaf；④2a，11gafa；综上所述，当222a时，ga取到最小值322．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2015年湖北，文18，12分】某同学用“五点法”画函数()sin()fxAxπ(0,||)2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x0π2π3π22πxπ35π6sin()Ax0550（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()fx的解析式；（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()ygx的图象．求()ygx的图象离原点O最近的对称中心．C0