计算方法试题集及答案

1四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxk)(1kx)(2kx)(3kx000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、已知ix1345)(ixf2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3xxxxxxxL)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5xxxxxx差商表为ixiy一阶均差二阶均差三阶均差21236245-1-154-1041)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33xxxxxxxNxP5.5)2()2(3Pf4、取步长2.0h，用预估-校正法解常微分方程初值问题1)0(32yyxy)10(x答案：解：)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1nnnnnnnnnnyxyxyyyxyy即04.078.152.01nnnyxyn012345nx00.20.40.60.81.0ny11.825.879610.713719.422435.02797、构造求解方程0210xex的根的迭代格式,2,1,0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110||nnxx。答案：解：令010)1(,02)0(,210e)(effxxfx.且010e)(xxf)(，对x，故0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(xf变形为)e2(101xx则当)1,0(x时)e2(101)(xx，110e10e|)(|xx3故迭代格式)e2(1011nxnx收敛。取5.00x，计算结果列表如下：n0123nx0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567nx0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足6671095000000.0||xx.所以008525090.0*x.8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组2053182521432321321321xxxxxxxxx。答案：解：2441321153121LUA令byL得T)72,10,14(y，yxU得T)3,2,1(x.9﹑对方程组841025410151023321321321xxxxxxxxx（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2）取初值T)0,0,0()0(x，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)()1(10||||kkxx。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优151023841025410321321321xxxxxxxxx故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为4)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取T)0,0,0()0(x,经7步迭代可得：T)010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*xx.11、用列主元素消元法求解方程组11124112345111321xxx。解：111124111123451111212345411121rr5852510579515130123455795151305852510123455251321312rrrrrr13513505795151301234513123rr回代得3,6,1123xxx。13、用欧拉方法求xttxy0de)(2在点0.2,5.1,0.1,5.0x处的近似值。解：xttxy0de)(2等价于0)0(e2yyx(0x)5记2e),(xyxf,取5.0h,0.2,5.1,0.1,5.0,043210xxxxx.则由欧拉公式0),(01yyxhfyynnnn,3,2,1,0n可得88940.0)0.1(,5.0)5.0(21yyyy,12604.1)0.2(,07334.1)5.1(43yyyy14、给定方程01e)1()(xxxf1)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程01e)1(xx（1）改写为xxe1（2）作函数1)(1xxf，xxfe)(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*x。2)将方程（2）改写为xxe1构造迭代格式5.1e101xxkxk),2,1,0(k计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)xxe1)(，xxe)(当]2,1[x时，]2,1[)]1(),2([)(x，且1e|)(|1x所以迭代格式),2,1,0()(1kxxkk对任意]2,1[0x均收敛。15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。6解：3是03)(2xxf的正根，xxf2)(，牛顿迭代公式为nnnnxxxx2321，即),2,1,0(2321nxxxnnn取x0=1.7,列表如下：n123nx1.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2xL及f(1，5)的近似值，取五位小数。解：)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2xxxxxxxL)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32xxxxxx04167.0241)5.1()5.1(2Lf17、n=3,用复合梯形公式求xxde10的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：7342.1]e)ee(2e[3201de132310310Txxxxxfxfe)(,e)(，10x时，e|)(|xf05.0025.0108e312e|e|||23TRx至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组411131103321xxx=815，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)1(1kkkkkkkkxxxxxxxx7系数矩阵411131103严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:k)(1kx)(2kx)(3kx11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52619、用预估—校正法求解1)0(yyxy(0x1)，h=0。2，取两位小数。解：预估—校正公式为),(),()(21121211kyhxhfkyxhfkkkyynnnnnn,2,1,0n其中yxyxf),(，10y，h=0.2，4,3,2,1,0n，代入上式得：n12345nx0.20.40.60.81.0ny1.241.582.042.643.4221、（15分）用8n的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算dxex10时，试用余项估计其误差。用8n的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。解：001302.0768181121)(12][022efhabfRT])()(2)([2)8(71kkbfxfafhT]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[1616329434.022、（15分）方程013xx在5.1x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31xx8对应迭代格式311nnxx；(2)xx11对应迭代格式nnxx111；（3）13xx对应迭代格式131nnxx。判断迭代格式在5.10x的收敛性，选一种收敛格式计算5.1x附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）321(31)(）xx，118.05.1）（，故收敛；（2）xxx1121)(2，117.05.1）（，故收敛；（3）23)(xx，15.135.12）（，故发散。选择（1）：5.10x，3572.11x，3309.12x，3259.13x，3249.14x，32476.15x，32472.16x23、（8分）已知方程组fAX，其中4114334A，243024f（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法：,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkkGauss-Seidel迭代法：,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkk0430430430430)(1ULDBJ，790569.0)410(85)(或JB27、（10分）已知数值积分公式为：9)]()0([)]()0([2)(''20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：1)(xf显然精确成立；xxf)(时，]11[]0[22220hhh