2021年北京市高考数学试题（原卷版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合|11Axx，|02Bxx，则AB（）A.1,2B.(1,2]C.[0,1)D.[0,1]2.在复平面内，复数z满足(1)2iz，则z（）A.2iB.2iC.1iD.1i3.已知()fx是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()fx在[0,1]上单调递增”是“函数()fx在[0,1]上的最大值为(1)f”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A.332B.4C.33D.25.双曲线2222:1xyCab过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213yxB.2213xyC.22313yxD.22313xy6.na和nb是两个等差数列，其中15kkakb为常值，1288a，596a，1192b，则3b（）A.64B.128C.256D.5127.函数()coscos2fxxx，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为988.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（10mm），中雨（10mm25mm），大雨（25mm50mm），暴雨（50mm100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨9.已知圆22:4Cxy，直线:lykxm，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m（）A.2B.2C.3D.510.数列na是递增的整数数列，且13a，12100naaa，则n的最大值为（）A.9B.10C.11D.12第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341()xx展开式中常数项为__________．12.已知抛物线2:4Cyx，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且6FM，则M的横坐标是_______；作MNx轴于N，则FMNS_______．13.(2,1)a，(2,1)b，(0,1)c，则()abc_______；ab_______．14.若点(cos,sin)P与点(cos(),sin())66Q关于y轴对称，写出一个符合题意的___．15.已知函数()lg2fxxkx，给出下列四个结论：①若0k，则()fx有两个零点；②0k，使得()fx有一个零点；③0k，使得()fx有三个零点；④0k，使得()fx有三个零点．以上正确结论得序号是_______．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC中，2coscbB，23C．（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①2cb；②周长为423；③面积为334ABCS；17.已知正方体1111ABCDABCD，点E为11AD中点，直线11BC交平面CDE于点F．（1）证明：点F为11BC的中点；（2）若点M为棱11AB上一点，且二面角MCFE的余弦值为53，求111AMAB的值．18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．19.已知函数232xfxxa．（1）若0a，求yfx在1,1f处切线方程；（2）若函数fx在1x处取得极值，求fx的单调区间，以及最大值和最小值．20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(0,2)A，以四个顶点围成的四边形面积为45．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．21.定义pR数列na：对实数p，满足：①10ap，20ap；②414,nnnNaa；③,1mnmnmnaaapaap，,mnN．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R数列吗？说明理由；（2）若na是0R数列，求5a的值；（3）是否存在p，使得存在pR数列na，对10,nnNSS？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．