25z平面与s平面的映射关系

§2.5序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系X第2页1.理想取样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想取样信号，则)(txa)(ˆtxannnsTanTsanstastnastaaaenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX))(()()()()]()[)(ˆ)](ˆ[)(ˆ（一.Z变换与拉氏变换的关系X第3页nnsTaaaenTxtxLsX))(()](ˆ[)(ˆ因此，抽样序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想取样信号的拉氏变换。)()(nTxnxannznxzX)()(sTez)(ˆ)()(sXeXzXasTezsT即两种变换之间的关系,就是由复平面s到复平面z的映射sTezX第4页2.S平面与Z平面映射关系S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此，即:Z的模只与s的实部相对应,Z的相角只与s的虚部Ω相对应。TerT,TTeerezjjsTezjrezjsX第5页=0,即S平面的虚轴r=1,即Z平面单位圆；σσσ0,即S的左半平面r1,即Z的单位圆内；0,即S的右半平面r1,即Z的单位圆外。→j00(1)r与σ的关系)(Ter→→→X第6页Ω=0，S平面的实轴，ω=0，Z平面正实轴；Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线，ω=Ω0T,Z:始于原点的射线；ΩS:宽的水平条带，ωZ:整个z平面.0jIm[Z]Re[Z]T3TTT3TTT2),,((2)ω与Ω的关系（ω=ΩT）),(ωj每增加一个增加一个2,也就是说是的周期函数S平面到Z平面的映射是多值映射。T2X第7页s平面z平面几种情况（1）s平面的原点，z平面，即。00Ωσ01θr1z0σ0σ0σ:为常数1r1r1r0:为常数r左半平面虚轴右半平面左向右移单位圆内单位圆上单位圆外半径扩大（2）（3），正实轴平面实轴平面0,0θzΩs（4）s~z映射不是单值的。π2sθΩΩX第8页二Z变换和傅氏变换的关系我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴s=jΩ的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（取样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想取样信号的傅氏变换。连续信号经理想取样后,其频谱产生周期延拓，即用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数，ω表示Z平面的辐角，且。kaaTkXTX)2jj(1)j(ˆ)j(ˆ)()(jjaTezXeXzXTjezsfTX第9页kaezkXTeXzX)T2j(1)()(jj（取样）序列的Z变换与连续信号的傅氏变换的关系