平面向量与向量方法的应用(竞赛辅导材料)

Gothedistance平面向量与向量的方法的应用一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．三角形“四心”的向量的统一形式：X是ABC的心0XAXBXC．引理：若X是ABC内的一点，则::::XBCXACXABSSS0XAXBXC．证明：这里只证明0XAXBXC::::XBCXACXABSSS（,,均为正数）．作XMXA，XNXB，XPXC，则0XMXNXP．容易证明点X为MNP的重心．于是1||||sin21||||sin2XBCXNPXBXCBXCSSXNXPNXP1，所以1XBCXNPSS3MNPS，同理3XACMNPSS，3XABMNPSS，所以::::XBCXACXABSSS．取XBCS，则XACS，XABS，0XBCXACXBASXASXBSXC．练习：1．0GAGBGCG是ABC的________心．2．0aIAbIBcICI是ABC的________心．3．sin2sin2sin20AOABOBCOCO是ABC的________心．222OAOBOCO是ABC的________心．4．H在ABC内部，则tantantan0AHABHBCHCH是ABC的________心．HAHBHBHCHCHAH是ABC的________心．222222HABCHBACHCABH是ABC的________心．当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法．5．||||ABACABAC所在直线一定通过ABC的________心．6．ABAC所在直线一定通过ABC的________心．7．||cos||cosABACABBACC所在直线一定通过ABC的________心．8．已知,,ABC是坐标平面内不共线的三点，O是坐标原点，动点P满足1[(1)(1)(12)]3OPOAOBOC（R），则点P的轨迹一定经过ABC的________心．（答案：1．重心．2．内心．3．外心．4．垂心（提示：H为ABC的垂心HAHBHBHCHCHA．因为H在ABC内部，所以||||cosHAHBHAHBBHA||||cosHAHBC2cossin(180)HABSCC，所以Gothedistance1tan2HABSHAHBC，同理1tan2HACSHAHCB，1tan2HBCSHBHCA．又0XBCXACXBASXASXBSXC，所以tantantan0AHABHBCHC）．5．内心．6．重心．7．垂心．提示：设()||cos||cosABACAPABBACC,则APBC()||cos||cosABACBCABBACC||||0BCBC，所以APBC）。）8．重心．提示：1[()()]3OPOAOBOCOCOAOCOB1[)()]3OAOBOCACBC，所以()APBPCPCACB，设CDCACB，则3()CACBCPCACB，即3(1)CPCD．因为CD经过AB的中点，,,CPD三点共线，所以P的轨迹一定经过ABC的重心．）二、三角形形状的判定1．O为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0OBOCOBOCOA，则三角形形状为_______三角形．1．解：由条件，得()0CBOBOAOCOA，即()()0ABACABAC，所以22ABAC，即||||ABAC．所以ABC是等腰三角形．2．已知非零向量AB和AC满足条件()0||||ABACBCABAC，且12||||ABACABAC，则ABC是___________三角形．2．解：设||||ABACADABAC，则AD为BAC的角平分线；又由0ADBC得到ADBC，所以ABAC．由12||||ABACABAC得到60A，所以ABC为等边三角形．3．在ABC中，P是BC边的中点，角,,ABC的对边分别为,,abc，若0cACaPAbPB，则ABC的形状为__________．3．解：因为P是BC边的中点，所以cACaPAbPB1()2cACaABAC1()02bABAC，所以()22ababcACAB．因为AB与AC不共线，所以02abc且0ab，所以abc，即ABC为等边三角形．三、向量分解问题1．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若ADxAByAC，则x__________，y__________．1．解：不妨设1ABAC，则2DEBC，36222BD．由于CAAB，所以过点D作AB的Gothedistance垂线，与AB的延长线交于点M，则45BDM．∵ADxAByAC，1ABAC，∴62122xABBM232，623222yDM．２．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OCxOAyOB，其中,xyR，则xy的最大值是________．解法１：设AOC，由OCxOAyOB可得，,.OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB，即1cos,21cos(120).2xyxy∴2[coscos(120)]xycos3sin2sin()26．∴xy的最大值是2．解法２：以点O为坐标原点，OA为x轴，建立平面直角坐标系，则(1,0)A，13(,)22B．设(sin,cos)C（2[0,]3），由OCxOAyOB可得，13(cos,sin)(1,0)(,)22xy，∴1cos2xy，3sin2y，∴3cossin3x，23sin3y，∴cos3sinxy2sin()26，∴xy的最大值是2．解法３：设AOC，过点C作OB的平行线交OA于点D，过点C作OA的平行线交OB于点E，由||||||1OAOBOC及OCxOAyOB可知，||ODx，||||OEDCy．又,120OAOB，在DOC中，由正弦定理得1sin60sin(120)sinxy，∴3cossin3x，23sin3y，∴cos3sinxy2sin()26，∴xy的最大值是2．3．O为ABC内一点，150AOB，COAO，||1OA，||2OB，||3OC，设OCxOAyOB，则xy__________．3．解法一：过点C作OB的平行线交AO的延长线于点E，过点C作OA的平行线交BO的延长线于点F，则30OECBOE，90EOC。因为||1OA，||2OB，||3OC，所以26ECOC，6cos3033OE，3OFOB，33OEOA，所以Gothedistance333OCOAOB，所以33x，3y，所以333xy．解法二：因为150AOB，COAO，OCxOAyOB，所以2OCOAxOAyOBOA，OCOCxOAOCyOBOC，即3012()2xy，19023()2y，解得3y，33x，所以333xy。解法三：建立平面直角坐标系，OC为y轴，AO为x轴，因为150AOB，COAO，||1OA，||2OB，||3OC，OCxOAyOB，所以(0,3)(1,0)(3,1)xy，所以30xy且3y，解得3y，33x，所以333xy。四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题1．已知a，b都是非零向量，且3ab与75ab垂直，4ab与72ab垂直，求a与b的夹角．1．解：依题意(3)(75)0,(4)(72)0.abababab，所以2222716150,73080aabbaabb，解得22bab且22aab，所以||||2abab，所以cos||||abab2(2)abab12，因为[0,]，所以3．2．在ABC和AEF中，B是EF的中点，1ABEF，6BC，33CA，若2ABAEACAF，则EF与BC的夹角的余弦值等于________．2．解：因为2ABAEACAF，所以()ABABBE()2ACABBF，即2ABABBE2ACABACBF．因为21AB，3313633112331ACAB，BEBF，所以1()12BFACAB，即2BFBC．设EF与BC的夹角，则有||||cos2BFBCθ，即3cos2，所以32cosθ．3．已知OFM的面积为S，且1OFFM，若1322S，则向量OF与FM的夹角的范围是____________．3．解：设向量OF与FM的夹角为，则1||||sin2SOFFMOFM1||||sin()2OFFM1tan2OFFM1tan2．因为1322S，所以1tan3，所以4，所以向量OF与FM的夹角的范围是(,)43．4．ABC中，,,ABC的对边分别为,,abc，重心为G，若CFEBAGothedistance303aGAbGBcGC，则A__________．4．因为G为ABC的重心，所以0GAGBGC，所以33aGAbGBcGC3()3aGAbGBcGAGB33()()033acGAbcGB，因为GA与GB不共线，所以33abc．设AB的中点为D，则CDAB，所以133cos22Acc，所以6A．平面向量与向量方法的应用（二）（教师版）一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用1．如图，在ABC中，已知2BDDC，3AMMD，过点M作直线交AB、AC于P、Q两点，则2ABACAPAQ_______．1．解：构造基底ABa，ACb，则BCACABba，22()33BDBCba，11()33DCBCba，1233ADABBDab，311442AMADab．设APABa，AQACb，01，01因为点P、Q、M三点共线，所以(1)AMmAPmAQ（mR），于是11(1)42abmamb．又a、b不共线，所以1(1)4m且12m，消去m，得11142，即124，所以2ABACAPAQ||2||||||ABACAPAQ124．2ABC中，D为BC的中点，E为AC边上靠近点A的一个三等分点，AD与BE交于点F，求：①AF与FD的长度之比；②BF与FE的长度之比．DQMPCBAGothedistance2．解：设ABa，ACb，因为D为BC的中点，所以1122ADab．因为,,AFD三点共线，所以存在唯一实数（0）使得22AFADab，①．因为,,BFE三点共线，所以存在唯一实数（0）使得BFFE，即()AFAEAF