中考数学考点滚动小专题：与图形变换有关的简单计算与证明

滚动小专题(十二)与图形变换有关的简单计算与证明1．(2017·泰安)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC.其中正确结论的个数为(D)A．1B．2C．3D．4第1题图第2题图2．(2017·德州)如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(ab)，M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b－b2a；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2＋b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是(D)A．2B．3C．4D．53．(2017·南充)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2.其中正确结论是①②③．第3题图第4题图4．(2016·金华)如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是2或5．5．(2015·连云港)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.(1)求证：∠EDB＝∠EBD；(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．解：(1)证明：由折叠可知：∠CDB＝∠EDB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CDB＝∠EBD.∴∠EDB＝∠EBD.(2)AF∥DB，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.由折叠可知：DC＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.∴DF＝AB.∴AE＝EF.∴∠EAF＝∠EFA.在△BED中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°，∴2∠EDB＋∠DEB＝180°.同理，在△AEF中，2∠EFA＋∠AEF＝180°.∵∠DEB＝∠AEF，∴∠EDB＝∠EFA.∴AF∥DB.6．(2016·齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)．(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；(3)在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1为所求作的三角形．(2)如图所示，△A2B2O为所求作的三角形．(3)∵A2坐标为(3，1)，A3坐标为(4，－4)，∴A2A3所在直线的解析式为y＝－5x＋16.令y＝0，则x＝165.∴P点的坐标为(165，0)．7．(2016·北京)在等边△ABC中：图1图2(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△PAM是等边三角形．想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK.……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM.(一种方法即可)解：(1)∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APC.又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，∴∠AQB＝80°.(2)①如图所示．②证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB.∴∠BAP＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠CAQ＋∠ACB.∴∠BAP＝∠CAQ.∵Q，M关于AC对称，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC.∴∠PAM＝∠PAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ＝AM，∴△APM为等边三角形．∴PA＝PM.8．有一根直尺，短边的长为4cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16cm.如图1，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图2，图3，设平移的长度为xcm，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为Scm2.(1)当x＝0时，S＝8cm2；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝28cm2；(2)是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26cm2？若存在，请求出此时x的值．解：存在．当S＝26cm2时，4＜x＜12，∴S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF，即12×16×8－12x2－12(16－x－4)2＝26.解得x1＝6－2，x2＝6＋2.故当x1＝6－2，x2＝6＋2时，阴影部分的面积为26cm2.9．(2016·潍坊)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.(1)如图1，连接AC分别交DE，DF于点M，N，求证：MN＝13AC；(2)如图2，将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC相交于点G，P，连接GP，当△DGP的面积等于33时，求旋转角的大小并指明旋转方向．解：(1)证明：连接BD，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝AB，∴△ABD为等边三角形．∵DE⊥AB，∴AE＝EB.∵AB∥DC，∴AMMC＝AEDC＝12.同理，CNAN＝12.∴MN＝13AC.(2)∵AB∥DC，∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠ADE＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝60°.当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG＝∠FDP，∠GDP＝∠EDF＝60°，DE＝DF＝AD·sin60°＝3，∠DEG＝∠DFP＝90°.在△DEG和△DFP中，∠GDE＝∠PDF，DE＝DF，∠DEG＝∠DFP，∴△DEG≌△DFP(ASA)．∴DG＝DP.∴△DGP为等边三角形．∴S△DGP＝34DG2＝33.解得DG＝23.∴cos∠EDG＝DEDG＝12.∴∠EDG＝60°.∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于33.同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于33.综上所述，将∠EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于33.10．(2016·十堰)如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．解：(1)四边形CEGF为菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠GFE＝∠CEF.∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC.∴∠GFE＝∠FEG.∴GF＝GE.∵图形翻折后EC与GE完全重合，∴GE＝EC.∴GF＝EC.又∵GF∥EC，∴四边形CEGF为平行四边形．∴四边形CEGF为菱形．(2)如图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得∠CDE＝∠GDE＝45°.∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE.∴CE＝CD＝AB＝3.如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE.∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2.∴CE＝5.∴线段CE的取值范围3≤CE≤5.