2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案 新人教A版必修第

13．3幂函数1．理解幂函数的概念．2．掌握y＝xα(α＝－1，12，1,2,3)的图象与性质．3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质2温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a0时，y＝xα是增函数；当α0时，y＝xα是减函数．1．y＝2x2和y＝－1x是幂函数吗？[答案]不是2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．()(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．()(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．()(4)当α0时，y＝xα是增函数．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×题型一幂函数的概念【典例1】(1)在函数①y＝1x，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x－12中，是幂函数的是()A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．[思路导引]紧扣幂函数的定义求解．[解析](1)幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C.(2)∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．[答案](1)C(2)见解析3判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.[针对训练]1．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝22xD．y＝x－1[解析]函数y＝22x＝4x不是幂函数，故选C.[答案]C2．若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝________.[解析]设f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3，∴α＝12，∴f(x)＝x12，∴f(100)＝10012＝10.[答案]10题型二幂函数的图象与性质【典例2】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P2，14，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．[思路导引]求出α，结合图象确定定义域和值域．[解]由f(2)＝14，得2α＝14，解得α＝－2，所以f(x)＝x－2.f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．4[变式](1)本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性．(2)本例中点P变为8，12，判断函数f(x)的奇偶性与单调性．[解](1)由f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)，得f(x)是偶函数．(2)由f(8)＝12，得8α＝12，解得α＝－13，所以f(x)＝x－13，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．解决幂函数图象问题应把握的2个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3)来判断．[针对训练]3．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－125[解析]令x＝2，则222122－122－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.[答案]B4．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1n0m1B．n－1,0m1C．－1n0，m1D．n－1，m1[解析]在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0m1，n－1.[答案]B题型三利用幂函数的性质比较大小【典例3】(1)比较下列各题中两个值的大小：6[思路导引]构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以3－2m≥0，m＋1≥0，3－2mm＋1，解得－1≤m23.故实数m的取值范围为－1，23.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．[针对训练]5．比较下列各组数的大小：76．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围是________．[解析]∵f(x)＝x－12＝1x(x0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)f(10－2a)，8∴a＋10，10－2a0，a＋110－2a解得a－1，a5，a3.∴3a5.[答案](3,5)课堂归纳小结1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3[解析]函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．[答案]B2．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．acbC．abcD．cba[解析]a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知cab.[答案]A93．函数y＝x13的图象是()[解析]由幂函数y＝x13的性质知，图象过点(0,0)，(1,1)，故排除A，D.因为y＝x13中0α＝131，所以函数图象在第一象限内上凸递增，排除C.故选B.[答案]B4．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f18＝________.[解析]设幂函数为y＝xα(α为常数)．∵函数f(x)的图象过点(4,2)，∴2＝4α，∴α＝12，∴f(x)＝x12，∴f18＝1812＝24.[答案]245．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．[解]∵幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－90，即m3.又∵m∈N*，∴m＝1,2.又y＝33m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，10∴3m－9是偶数．∴m＝1.∴f(x)＝x－6.11课后作业(二十三)复习巩固一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()[解析]y＝x23＝3x2，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．[答案]D2．设a＝1234，b＝1534，c＝()212，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．abcD．bca[解析]构造幂函数y＝x34，x0，由该函数在定义域内单调递增，知1ab；又c＝2121，知ac.故cab.[答案]B3．函数y＝x53的图象大致是图中的()[解析]∵函数y＝x53是奇函数，且α＝531，∴函数在R上单调递增．故选B.[答案]B4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则()A．m＝－2B．m＝－112C．m＝－2或m＝－1D．－3≤m≤－1[解析]根据幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．[答案]A5．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数[解析]当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．故选C.[答案]C二、填空题6．若y＝axa2－12是幂函数，则该函数的值域是________．[解析]由已知y＝axa2－12是幂函数，得a＝1，所以y＝x12，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．[答案][0，＋∞)7．函数y＝3xα－2的图象过定点________．[解析]依据幂函数y＝xα性质，x＝1时，y＝1恒成立，所以函数y＝3xα－2中，x＝1时，y＝1恒成立，即过定点(1,1)．[答案](1,1)8．已知当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xα的图象恒在直线y＝x的上方，则α的取值范围是________．[解析]由幂函数的图象特征知α1.[答案](1，＋∞)三、解答题139．已知幂函数y＝f(x)的图象过点2，22，试求出此函数的解析式，判断奇偶性．[解]设y＝xα(α∈R)，∵图象过点2，22，∴2α＝22，α＝－12，∴f(x)＝x－12.∵函数y＝x－12＝1x，定义域为(0，＋∞)，函数为非奇非偶函数．10．已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2x2，x∈Z}，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．[解]因为m∈{x|－2x2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0条件①、②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．综合运用11．已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0B．1C．2D．3[解析]∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－50(m∈N)，则m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不合题意．当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1，故选B.[答案]B1