2019-2020学年高中数学 第2讲 参数方程 2 圆锥曲线的参数方程学案 新人教A版选修4-4

-1-二圆锥曲线的参数方程学习目标：1.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)教材整理1椭圆的参数方程阅读教材P27～P29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数)y2a2＋x2b2＝1(ab0)x＝bcosφy＝asinφ(φ为参数)椭圆x＝4cosφy＝5sinφ(φ为参数)的离心率为()A.45B.35C.34D.15[解析]由椭圆方程知a＝5，b＝4，∴c2＝9，c＝3，e＝35.[答案]B教材整理2双曲线的参数方程阅读教材P29～P32，完成下列问题．普通方程参数方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)x＝asecφy＝btanφ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线x＝3secθ，y＝tanθ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是()-2-A.y23－x29＝1B.y23－x29＝－1C.y23－x2＝1D.y23－x2＝－1[解析]由x＝3secθ得，x2＝3cos2θ＝3sin2θ＋cos2θcos2θ＝3tan2θ＋3，又∵y＝tanθ，∴x2＝3y2＋3，即x23－y2＝1.经验证可知，选项B合适．[答案]B教材整理3抛物线的参数方程阅读教材P33～P34“习题”以上部分，完成下列问题．1．抛物线y2＝2px的参数方程是x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．2．参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝________.[解析]抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|等于点P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.[答案]4椭圆的参数方程及应用【例1】将参数方程x＝5cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．[思路探究]根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．-3-[自主解答]由x＝5cosθy＝3sinθ得cosθ＝x5，sinθ＝y3，两式平方相加，得x252＋y232＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4.因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．椭圆的参数方程x＝acosθ，y＝bsinθ，(θ为参数，a，b为常数，且ab0)中，常数a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．1．若本例的参数方程为x＝3cosθ，y＝5sinθ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？[解]将x＝3cosθ，y＝5sinθ，化为x3＝cosθ，y5＝sinθ，两式平方相加，得x232＋y252＝1.其中a＝5，b＝3，c＝4.所以方程的曲线表示焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为F1(0，－4)与F2(0,4).双曲线参数方程的应用【例2】求证：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[思路探究]设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．[自主解答]由双曲线x2a2－y2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，-4-它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝|absecφ＋abtanφ|b2＋a2·|absecφ－abtanφ|b2＋－a2＝|a2b2sec2φ－tan2φ|a2＋b2＝a2b2a2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用．2．如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.[证明]设P(secφ，tanφ)，∵F1(－2，0)，F2(2，0)，∴|PF1|＝secφ＋22＋tan2φ＝2sec2φ＋22secφ＋1，|PF2|＝secφ－22＋tan2φ＝2sec2φ－22secφ＋1，|PF1|·|PF2|＝2sec2φ＋12－8sec2φ＝2sec2φ－1.∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.抛物线的参数方程【例3】设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．-5-[思路探究]解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．[自主解答]设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，当t≠0时，直线OP的方程为y＝1tx，QF的方程为y＝－2tx－p2，它们的交点M(x，y)由方程组y＝1txy＝－2tx－p2确定，两式相乘，消去t，得y2＝－2xx－p2，∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．当t＝0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.1．抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．3．已知抛物线的参数方程为x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.[解析]根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y2M＝6p，所以E－p2，±6p，Fp2，0，所以p2＋3＝p2＋6p，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)．[答案]2-6-1．参数方程x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)化为普通方程为()A．x2＋y24＝1B．x2＋y22＝1C．y2＋x24＝1D．y2＋x24＝1[解析]易知cosθ＝x，sinθ＝y2，∴x2＋y24＝1，故选A.[答案]A2．方程xcosθ＝a，y＝bcosθ(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一部分[解析]由xcosθ＝a，∴cosθ＝ax，代入y＝bcosθ，得xy＝ab，又由y＝bcosθ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．[答案]D3．圆锥曲线x＝t2，y＝2t(t为参数)的焦点坐标是________．[解析]将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1,0)．[答案](1,0)4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)与曲线C2：-7-x＝asinθ，y＝3cosθ(θ为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.[解析]∵x＝t＋1，y＝1－2t，消去参数t得2x＋y－3＝0.又x＝asinθ，y＝3cosθ，消去参数θ得x2a2＋y29＝1.方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝32，将32，0代入x2a2＋y29＝1，得94a2＝1.又a0，∴a＝32.[答案]325．已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ＜π)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，求它们的交点坐标．[解]将x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x25＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－5)，将x＝54t2，y＝t代入得：516t4＋t2－1＝0，解得t2＝45，∴t＝255(y＝t≥0)，x＝54t2＝54×45＝1，∴交点坐标为1，255.