2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质（第2课时）

-1-第2课时对数函数及其性质的应用（习题课）[A基础达标]1．已知a＝log0.60.5，b＝ln0.5，c＝0.60.5，则()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a解析：选B.a＝log0.60.5＞log0.60.6＝1，b＝ln0.5＜0，0＜c＝0.60.5＜0.60＝1，故a＞c＞b.2．(2019·衡阳高一检测)函数y＝log15(1－3x)的值域为()A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)解析：选C.因为3x＞0，所以－3x＜0，所以1－3x＜1.又y＝log15t(t＝1－3x)是关于t的减函数，所以y＝log15t＞log151＝0.选C.3．(2019·聊城高一检测)关于函数f(x)＝log12(1－2x)的单调性的叙述正确的是()A．f(x)在12，＋∞上是增函数B．f(x)在12，＋∞上是减函数C．f(x)在－∞，12上是增函数D．f(x)在－∞，12上是减函数解析：选C.由1－2x0，得x12，所以f(x)＝log12(1－2x)的定义域为－∞，12.由于底数12∈(0，1)，所以函数f(x)＝log12(1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．因为y＝1-2-－2x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f(x)在－∞，12上是增函数，故选C.4．(2019·六安高一检测)若a1，且log1ax1＝logax2＝loga＋1x30，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x1x2x3B．x2x3x1C．x3x2x1D．x3x1x2解析：选C.因为log1ax1＝logax2＝loga＋1x30，所以lgx1lg1a＝lgx2lga＝lgx3lg（a＋1）0，因为a1，则lg1a0，lg(a＋1)lga0，所以lgx10，lgx20，lgx30，且lgx2lgx3，所以x11，0x3x21，所以x3x2x1.5．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝lg2x＋12xB．f(x)＝|lgx|C．f(x)＝lg|x|D．f(x)＝lg1－x1＋x解析：选D.对于选项A中的函数f(x)＝lg2x＋12x，函数定义域为R，f(－x)＝lg2－x＋12－x＝lg12x＋2x＝f(x)，故选项A中的函数为偶函数；对于选项B中的函数f(x)＝|lgx|，由于函数定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故选项B中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；对于选项C中的函数f(x)＝lg|x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，故选项C中的函数为偶函数；对于选项D中的函数f(x)＝lg1－x1＋x，由于函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝lg1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，故选项D中的函数为奇函数．故选D.6．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是________．解析：由lg(2x－4)≤1得lg(2x－4)≤lg10，所以0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7.答案：(2，7]7．(2019·凉州高一检测)已知函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，则其定义域是________．解析：因为函数y＝log2(1－x)的值域为(－∞，0)，所以01－x1，即－1x－10，解-3-得0x1，所以该函数的定义域为(0，1)．答案：(0，1)8．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________．解析：因为a＞1，所以f(x)＝logax在[a，2a]上递增，所以loga(2a)－logaa＝12，即loga2＝12，所以a12＝2，a＝4.答案：49．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数．当x0时，f(x)＝log2x.(1)求f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)≤12.解：(1)设x0，则－x0，因为当x0时，f(x)＝log2x，所以f(－x)＝log2(－x)，又因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)．当x＝0时，f(0)＝0，综上所述，f(x)＝log2x，x0，0，x＝0，－log2（－x），x0.(2)由(1)得不等式f(x)≤12可化为x0时，log2x≤12，解得0x≤2.x＝0时，0≤12满足条件．x0时，－log2(－x)≤12，解得x≤－22.综上可知，原不等式的解集为x|x≤－22或0≤x≤2.10．已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．求证：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．-4-证明：(1)函数f(x)的定义域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)设x1，x2为(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x21)－log2(1＋x22)＝log21＋x211＋x22.因为0x1x2，所以0x21x22，01＋x211＋x22，所以01＋x211＋x221.又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以log21＋x211＋x220.所以f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．[B能力提升]11．log12(a2＋a＋1)与log1234的大小关系为()A．log12(a2＋a＋1)≥log1234B．log12(a2＋a＋1)log1234C．log12(a2＋a＋1)≤log1234D．log12(a2＋a＋1)log1234解析：选C.因为y＝log12x在(0，＋∞)上是减函数，而a2＋a＋1＝a＋122＋34≥34，所以log12(a2＋a＋1)≤log1234.12．(2019·大庆高一检测)若loga14＝loga14，且|logba|＝－logba．则a，b满足的关系式是()A．a1且b1B．a1且0b1C．b1且0a1D．0a1且0b1解析：选C.因为loga14＝loga14，且|logba|＝－logba，所以loga140，logba0，即0a1，b1.13．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0a1)．-5-(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．解：(1)要使函数有意义，则有1－x0，x＋30，解得－3x1，所以定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，因为－3x1，所以0－(x＋1)2＋4≤4，又0a1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，即f(x)的最小值为loga4.由loga4＝－2，得a－2＝4，所以a＝4－12＝12.14．(选做题)已知函数f(x)＝loga(3－ax)，(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax0对x∈[0，2]恒成立，且a0，a≠1.设g(x)＝3－ax，则g(x)在[0，2]上为减函数，所以g(x)min＝g(2)＝3－2a0，所以a32.所以实数a的取值范围是(0，1)∪1，32.(2)假设存在这样的实数a，则由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，所以a＝32.此时f(x)＝log323－32x.但x＝2时，f(x)＝log320无意义．故这样的实数a不存在．