2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3 诱导公式（第2课时）诱导公式五、六教

-1-第2课时诱导公式五、六考点学习目标核心素养诱导公式五、六掌握诱导公式五、六的推导过程逻辑推理诱导公式的应用能利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P191－P193，并思考以下问题：1.π2－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？2．诱导公式五、六的内容是什么？1．公式五、六2．公式五、六的语言概括π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式一～六都叫做诱导公式．■名师点拨诱导公式五、六反映的是角π2±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．()(2)sinα－π2＝cosα.()-2-(3)若α为第二象限角，则sinπ2＋α＝cosα.()答案：(1)×(2)×(3)√已知sinα＝23，则cosπ2－α等于()A.23B．－23C.53D．－53答案：A已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则sinα等于()A．－225B.225C．－223D.223解析：选C.sin(α＋π2)＝sin(π2＋α)＝cosα＝13，又α∈(－π2，0)，所以sinα＝－1－cos2α＝－223.sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：0,[学生用书P114])利用诱导公式求值(1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cosπ2＋α的值．(2)已知sinπ3－α＝12，求cosπ6＋α的值．-3-【解】(1)因为cos(π＋α)＝－cosα＝－12，所以cosα＝12，又α为第一象限角．则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32.(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.(变问法)若本例(2)条件不变，如何求cos5π6－α的值．解：cos5π6－α＝cosπ2＋π3－α＝－sinπ3－α＝－12.解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．1．若cos(α＋π)＝－23，则sin(－α－3π2)＝()A.23B．－23C.53D．－53解析：选A.因为cos(α＋π)＝－cosα＝－23，所以cosα＝23.所以sin－α－3π2＝cosα＝23.2．已知sinα＋π6＝35，则cosα＋2π3的值为________．-4-解析：cosα＋2π3＝cosπ2＋α＋π6＝－sinα＋π6＝－35.答案：－353．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，35)，求sin（π2＋α）＋2sin（π2－α）2cos（3π2－α）的值．解：因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P(a，35)，所以a2＋925＝1(a＜0)，所以a＝－45，所以sinα＝35，cosα＝－45，所以原式＝cosα＋2cosα－2sinα＝－32·cosαsinα＝－32×－4535＝2.利用诱导公式化简、证明化简：cos3π2－α·sinπ2－α·sinπ2＋αcos5π2－α·sin－3π2－α.【解】原式＝（－sinα）·cosα·cosα－cosπ2－α·sin3π2＋α＝－sinαcos2αsinαcosα＝－cosα.(1)利用诱导公式化简三角函数式的步骤利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即-5-口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．(2)证明三角恒等式的常用方法①由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则；②证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用；③通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1或右边左边＝1.1．化简cos2π4－α＋cos2π4＋α＝________．解析：原式＝sin2π2－π4－α＋cos2π4＋α＝sin2π4＋α＋cos2π4＋α＝1.答案：12．求证：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.证明：左边＝cosπ2－αsinπ2＋α·[－sin(2π－α)]cosα＝sinαcosα[－(－sinα)]cosα＝sinαcosα·sinα·cosα＝sin2α＝右边，故原式成立．诱导公式的综合应用已知f(α)＝sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－π－α）sin（－π－α）.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；-6-(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．【解】(1)f(α)＝sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－π－α）sin（－π－α）＝（－sinα）·cosα·（－cosα）（－cosα）sinα＝－cosα.(2)因为cosα－3π2＝15，又cosα－3π2＝cosα＋π2＝－sinα，即sinα＝－15，而α是第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，所以f(α)＝－cosα＝265.(3)当α＝－31π3时，f(α)＝－cosα＝－cos－31π3＝－cos－10π－π3＝－cosπ3＝－12.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23(π2απ)，求下列各式的值．(1)sinα－cosα；(2)cos2(π2＋α)－cos2(－α)．解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23.将两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝29，-7-所以2sinαcosα＝－79.又π2απ，所以sinα0，cosα0.(1)因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－－79＝169，又sinα－cosα0，所以sinα－cosα＝43.(2)cos2(π2＋α)－cos2(－α)＝sin2α－cos2α＝(sinα＋cosα)(sinα－cosα)＝23×43＝429.1．若sinπ2＋θ＜0，且cosπ2－θ＞0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B.由于sinπ2＋θ＝cosθ＜0，cosπ2－θ＝sinθ＞0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos7π2－α等于()A．－12B.12C.32D．－32解析：选A.因为sin(3π＋α)＝－sinα＝－12，所以sinα＝12.所以cos7π2－α＝cos3π2－α-8-＝－cosπ2－α＝－sinα＝－12.3．化简：sinπ2＋αcosπ2－αcos（π＋α）＋sin（π－α）cosπ2＋αsin（π＋α）.解：因为sinπ2＋α＝cosα，cosπ2－α＝sinα，cos(π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα，cosπ2＋α＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα，所以原式＝cosα·sinα－cosα＋sinα·（－sinα）－sinα＝－sinα＋sinα＝0.[A基础达标]1．化简：sin92π＋x＝()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosx解析：选B.sin92π＋x＝sin4π＋π2＋x＝sinπ2＋x＝cosx.2．已知sinθ＝15，则cos(450°＋θ)的值是()A.15B．－15C．－265D.265解析：选B.cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－15.3．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值为()A．－13B.13-9-C．－223D.223解析：选A.cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.4．(2019·山西大学附中月考)已知α∈0，3π2，cos3π2－α＝32，则tan(2018π－α)＝()A.3B．－3C.3或－3D.33或－33解析：选B.由cos3π2－α＝32得sinα＝－32，又0α3π2，所以πα3π2，所以cosα＝－1－－322＝－12，tanα＝3.因为tan(2018π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－3，故选B.5．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)的值为()A．－12B.12C．－32D.32解析：选A.f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.6．已知sin(π＋α)＝－13，则cosα－3π2＝________．解析：因为sin(π＋α)＝－sinα＝－13，所以sinα＝13，cosα－3π2＝cos3π2－α＝－sinα＝－13.答案：－137．化简sin(π＋α)cos3π2＋α＋sinπ2＋αcos(π＋α)＝________．-10-解析：原式＝－sinα·sinα－cosα·cosα＝－1.答案：－18．已知cosπ2＋α＝2sinα－π2，则sin（π－α）＋cos（π＋α）5cos5π2－α＋3sin7π2－α＝________．解析：因为cosπ2＋α＝2sinα－π2，所以sinα＝2cosα.原式＝sinα－cosα5sinα－3cosα＝2cosα－cosα10cosα－3cosα＝17.答案：179．化简：(1)cos（α－π）sin（π－α）·sinα－π2cosπ2＋α；(2)tan（2π－α）cos3π2－αcos（6π－α）tan（π－α）sinα＋3π2cosα＋3π2.解：(1)原式＝cos[－（π－α）]sinα·sin－（π2－α）(－sinα)＝cos（π－α）sinα·－sinπ2－α(－sinα)＝－cosαsinα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.(2)原式＝tan（－α）－cosπ2－αcos（－α）（－tanα）－sinπ2＋α－cosπ2＋α＝（－tanα）（－sinα）co