2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定 北师大版必修2

-1-课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定一、基本能力达标1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选DA错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A­BCD，则在几何体A­BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()-2-A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面BCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.解析：取BC中点M，则AM⊥BC，由题意得AM⊥平面BDC，∴△AMD为直角三角形，AM＝MD＝22a.∴AD＝22a×2＝a.答案：a8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.解析：由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC.连接BC，则BC＝BD2＋DC2＝222＋222＝1.答案：19.如图，在圆锥VO中，AB是底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点D是AC的中点．已知AB＝2，VA＝2.求证：平面VAC⊥平面VOD.证明：连接BC，由圆锥的性质，-3-知VO⊥平面ABC，∴VO⊥AC.又D是AC的中点，∴OD∥BC.又AB是底面圆的一条直径，∴AC⊥BC，∴AC⊥OD.又VO∩OD＝O，VO平面VOD，OD平面VOD，∴AC⊥平面VOD.又AC平面VAC，∴平面VAC⊥平面VOD.10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.求证：平面AEC⊥平面AFC.证明：如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.二、综合能力提升1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nα-4-C．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ解析：选AB错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．4．如图，∠C＝90°，AC＝BC，M，N分别是BC，AB的中点，沿直线MN将△BMN折起至△B′MN位置，使二面角B′­MN­B的大小为60°，则B′A与平面ABC所成角的正切值为()A.25B.45C.35D.35解析：选C设BC＝2.过B′作B′D⊥BC，垂足为D，则B′D⊥平面ABC，连接AD，则∠B′AD是B′A与平面ABC所成的角．由题意，知∠B′MB＝60°，MB′＝MB＝1，则MD＝12，B′D＝32，AD＝1＋122＋22＝52，∴tan∠B′AD＝B′DAD＝3252＝35.5.如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.-5-解析：由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．答案：②④6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．解析：如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OBβ，OCβ，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OAα，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7.如图，在四面体P­ABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，求二面角D­BC­A的大小．解：取BC的中点E，连接EA，ED，EP.∵△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，∴BC⊥AE，BC⊥PE，又AE∩PE＝E，AE平面PAE，PE平面PAE，∴BC⊥平面PAE.而DE平面PAE，所以BC⊥DE，∴∠AED即为二面角D­BC­A的平面角．又由条件，知AE＝PE＝32AB＝3，AD＝12PA＝32，∴DE⊥PA，∴sin∠AED＝ADAE＝32，显然∠AED为锐角，∴∠AED＝60°，即二面角D­BC­A的大小为60°.探究应用题8．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.-6-证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.又A′N平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.