2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和教案 理（含解析）新人教A版

1第3讲等比数列及其前n项和基础知识整合1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第□012项起，每一项与它的前一项的比等于□02同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的□03公比，通常用字母q表示，定义的表达式为□04an＋1an＝q.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么□05G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒□06G2＝ab(ab≠0)．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝□07a1qn－1.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(6)等比数列{an}满足a10，q1或a10，0q1时，{an}是递增数列；满足a10，0q1或a10，q1时，{an}是递减数列．1．(2019·四川成都检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝()A．12B．182C．24D．36答案B解析由题意，a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝78，所以1＋q2＋q4＝13，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝18.故选B.2．已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为()A．5B．10C．15D．20答案A解析根据等比数列的性质，得a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2.而a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25，∵an0，∴a3＋a5＝5.3．(2019·广西柳州模拟)设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a3的值为()A.154B.152C.74D.72答案A解析S4＝－1－q＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，∴S4a3＝154.故选A.4．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16答案B解析由anan＋1＝16n，得an＋1·an＋2＝16n＋1.两式相除得，an＋1·an＋2an·an＋1＝16n＋116n＝16，∴q2＝16.∵anan＋1＝16n，可知公比为正数，∴q＝4.5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若an0，q1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝()A．31B．36C．42D．48答案A解析由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由a3＋a5＝20，a3a5＝64，且an0，q1，得a3＝4，a5＝16，所以a1q2＝4，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.所以S5＝－1－2＝31.故选A.6．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，且a2＝－2，则a7＝()A．16B．32C．64D．1283答案C解析由题意得Sn＋2＋Sn＋1＝2Sn，得an＋2＋an＋1＋an＋1＝0，即an＋2＝－2an＋1，∴{an}从第二项起是公比为－2的等比数列，∴a7＝a2q5＝64.故选C.核心考向突破考向一等比数列的基本运算例1(1)(2019·汕头模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝3a1＋a2，则S4S2＝()A．2B．3C．4D．5答案B解析设等比数列的公比为q，由题意a1＋a2＋a3＝3a1＋a2得a3＝2a1(a1≠0)，∴q2＝a3a1＝2，∴S4S2＝1－q41－q2＝1＋q2＝3.故选B.(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{an}的通项公式；②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.②若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.触类旁通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．即时训练1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2018＝3S2017＋2018，a2017＝3S2016＋2018，则公比q等于()A．3B．13C．4D．144答案C解析由a2018＝3S2017＋2018，a2017＝3S2016＋2018，得a2017q－3S2017＝2018，a2017－3S2016＝2018，∴a2017q－3S2017＝a2017－3S2016，∴a2017(q－1)＝3(S2017－S2016)＝3a2017，∴q＝4.故选C.2．等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，则数列{an}的前5项和S5＝()A．81B．90C．100D．121答案D解析∵等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝30，∴公比q＝a2＋a4a1＋a3＝3010＝3，∴a1＋9a1＝10，解得a1＝1，∴数列{an}的前5项和S5＝－1－3＝121.故选D.3．(2019·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.答案128解析∵a2·a4＝a23＝16，∴a3＝4(负值舍去)，∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝－1－q＝4q2＋－1－q＝3，∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－23或q＝2，∵an0，∴q＝－23舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128.考向二等比数列的性质角度1.