2020版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题教案 理

1第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识整合1．判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都□01相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的□02符号即可判断Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划中的基本概念画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．1．(2019·山西临汾模拟)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是()2答案C解析由y(x＋y－2)≥0，得y≥0，x＋y－2≥0或y≤0，x＋y－2≤0，所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项中阴影部分所表示的区域．故选C.2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为()A．(－7,24)B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C．(－24,7)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案A解析由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)0，所以(a＋7)(a－24)0，所以－7a24.3．(2019·广州模拟)若实数x，y满足x－2y＋3≥0，y≥x≥1，则z＝x2＋y2的最小值为()A.3B.5C.3D.2答案D解析作出不等式组x－2y＋3≥0，y≥x≥1表示的平面区域如图，z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z的最小值为2.故选D.34．(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件x≥0，x＋y－3≥0，x－2y≤0，则z＝x＋2y的取值范围是()A．[0,6]B．[0,4]C．[6，＋∞)D．[4，＋∞)答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝－12x＋z2过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选D.5．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．答案9解析不等式组表示的可行域是以A(5,4)，B(1,2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝5，y＝4时，zmax＝9.46．(2019·河南新乡联考)已知z＝2x＋y，x，y满足不等式组y≥x，x＋y≤2，x≥m，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是________．答案14解析可见A(m，m)，B(1,1)，所以当直线z＝2x＋y过点A时有最小值为3m，当过点B时有最大值为3，所以3＝4×3m，所以m＝14.核心考向突破考向一二元一次不等式(组)表示平面区域例1(1)不等式组y≥0，x－y－1≥0，3x－2y－6≤0表示的平面区域的面积等于________．答案325解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(1,0)，B(2,0)，由x－y－1＝0，3x－2y－6＝0，得C(4,3)．∴S△ABC＝12AB·|yc|＝12×1×3＝32.(2)若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．答案(0,1]∪43，＋∞解析不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由y＝x，2x＋y＝2，得6A23，23；由y＝0，2x＋y＝2，得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0a≤1或a≥43.触类旁通如何确定二元一次不等式(组)表示的区域(1)直线定界，特殊点定域．注意边界线是实线还是虚线．不等式组中含有参数时，先正确作出不含参数的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域，然后转动或平移含参数直线使其满足题目要求，从而确定参数的取值范围.即时训练1.(2019·郑州模拟)已知不等式组x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，3x－y－3≤0表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．答案13解析区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．由方程组x＋y－1＝0，3x－y－3＝0，解得A(1,0)．由方程组x－y＋1＝0，3x－y－3＝0，解得B(2,3)．所以AB的中点坐标为32，32，代入直线方程y＝kx＋1得，32＝32k＋1，解得k＝13.72．若不等式组x≥0，y≥0，x＋y－2－1≤0，x－ky＋k≥0表示的是一个对称四边形围成的区域，则k＝________.答案±1解析直线x－ky＋k＝0过定点(0,1)，当k0时，若得到对称四边形，则直线x－ky＋k＝0与直线x＋y－2－1＝0一定平行，此时k＝－1，形成的四边形为等腰梯形，满足题意；当k0时，若得到对称四边形，则直线x－ky＋k＝0与直线x＋y－2－1＝0一定垂直，验证(0,1)到直线x＋y－2－1＝0的距离d＝|0＋1－2－1|2＝1，满足题意，此时k＝1.综上可知，k＝±1.考向二求目标函数的最值问题角度1表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z＝m＋n在点(1,2)处取得最小值3.故选B.