2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.2 函数的最大值、最小值学案（含

-1-第2课时函数的最大值、最小值知识点函数的最大值与最小值最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数的最小值一定比最大值小．()答案：(1)×(2)×2．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()A．3,5B．－3,5C．1,5D．－5,3解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小-2-值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.答案：B4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．答案：C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤-3-跟踪训练1已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解析：y＝－|x－1|＋2＝3－x，x≥1，x＋1，x1，图象如图所示．由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．利用x的不同取值先去绝对值，再画图．类型二利用单调性求函数的最大(小值)例2已知f(x)＝1x－1，(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．【解析】(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x2x11，则f(x1)－f(x2)＝1x1－1－1x2－1＝x2－x1x1－1x2－1，因为x1－10，x2－10，x2－x10，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2,6]上是减函数，-4-所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝15，即f(x)min＝15，f(x)max＝1.(1)用定义法证明函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性．(2)利用函数单调性求最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练2已知函数f(x)＝32x－1，求函数f(x)在[1,5]上的最值．解析：先证明函数f(x)＝32x－1的单调性，设x1，x2是区间12，＋∞上的任意两个实数，且x2x112，f(x1)－f(x2)＝32x1－1－32x2－1＝6x2－x12x1－12x2－1.由于x2x112，所以x2－x10，且(2x1－1)·(2x2－1)0，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)＝32x－1在区间12，＋∞上是减少的，所以函数f(x)在[1,5]上是减少的，因此，函数f(x)＝32x－1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝13.(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．-5-类型三二次函数最值例3求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【解析】f(x)＝(x－a)2－1－a2，其图象的对称轴为直线x＝a.(1)当a0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)当1a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的对称轴为直线x＝a，位置不确定，所以应按对称轴与区间[0,2]的相对位置进行分类讨论．方法归纳1．如何求二次函数在闭区间[m，n]上的最值？①确定二次函数的对称轴x＝a；②根据am，m≤am＋n2，m＋n2≤an，a≥n这4种情况进行分类讨论；③写出最值．2．求二次函数的最值常用的数学思想方法数形结合思想、分类讨论思想．-6-跟踪训练3已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．解析：f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值．(2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图象法求解.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A．y＝1x＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－x解析：B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.答案：A2．函数f(x)＝x＋7，x∈[－1，12x＋6，x∈[1，2]，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8-7-C．8,6D．以上都不对解析：当－1≤x1时，6≤x＋78，当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.答案：A3．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是()A．9，－15B．12，－15C．9，－16D．9，－12解析：函数的对称轴为x＝3，所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，当x＝－2时，函数取得最大值为9，故选C.答案：C4．已知函数f(x)＝2x＋1x－1，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是()A．f(x)有最大值53，无最小值B．f(x)有最大值53，最小值75C．f(x)有最大值75，无最小值D．f(x)有最大值2，最小值75解析：f(x)＝2x＋1x－1＝2＋3x－1，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝53，无最小值．故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.-8-答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．解析：当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：27．函数y＝x＋x－1的最小值为________．解析：令x－1＝t，t≥0，则x＝t2＋1，所以y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34，当t≥0时，由二次函数的性质可知，当t＝0时，ymin＝1.答案：18．函数f(x)＝1x在[1，b](b1)上的最小值是14，则b＝________.解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝1b＝14，所以b＝4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间－1，12上的最大值．解析：f(x)＝|x|(x＋1)＝－x2－x，x≤0，x2＋x，x0的图象如图所示．-9-(1)f(x)在－∞，－12和[0，＋∞)上是增函数，在－12，0上是减函数，因此f(x)的单调递增区间为－∞，－12，[0，＋∞)；单调递减区间为－12，0.(2)因为f－12＝14，f(12)＝34，所以f(x)在区间－1，12上的最大值为34.10．已知函数f(x)＝2x－1x＋1，x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1－1x1＋1－2x2－1x2＋1＝2x1－1x2＋12x2－1x1＋1x1＋1x2＋1＝3x1－x2x1＋1x2＋1，因为3≤x1x2≤5，所以x1＋10，x2＋10，x1－x20.所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以f(x)＝2x－1x＋1在[3,5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3－13＋1＝54，-10-f(x)max＝f(5)＝2×5－15＋1＝32.[能力提升](20分钟，40分)11．当0≤x≤2时，a－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)解析：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a0.答案：C12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.答案：613．求函数f(x)＝x2