2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案（含解析）新人教A

-1-2.3.1平面向量基本定理考试标准课标要点学考要求高考要求平面向量基本定理bb平面内所有向量的一组基底aa向量夹角的概念bb知识导图学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来．3．在△ABC中，明确AC→与AB→的夹角与CA→与AB→的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔平面向量基本定理的理解(1)e→1，e→2是同一平面内的两个不共线的向量，e→1，e→2的选取不唯一，即一个平面可-2-以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a→都可以沿基底进行分解．(3)基底e→1，e→2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的．2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.状元随笔两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与向量AB→的夹角，∠BAD才是向量CA→与向量AB→的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．()(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.()答案：(1)×(2)√(3)×2．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：-3-①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：①AD→与AB→不共线；②DA→＝－BC→，则DA→与BC→共线；③CA→与DC→不共线；④OD→＝－OB→，则OD→与OB→共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角是指()A．∠CABB．∠ABCC．∠BCAD．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB→与BC→的夹角应是∠ABC的补角，故选D.答案：D4．如图所示，向量OA→可用向量e1，e2表示为________．解析：由图可知，OA→＝4e1＋3e2.答案：OA→＝4e1＋3e2类型一平面向量基本定理的理解例1设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；-4-②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】①设e1＋e2＝λe1，则λ＝1，1＝0，无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底．③∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．【答案】③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e→1、e→2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则{x1＝x2y1＝y2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；-5-③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是()A.①②B．②③C．①③D．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二用基底表示平面向量例2如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示向量DE→，BF→.【解析】DE→＝DA→＋AB→＋BE→＝－AD→＋AB→＋12BC→＝－AD→＋AB→＋12AD→＝a－12b.BF→＝BA→＋AD→＋DF→＝－AB→＋AD→＋12AB→＝b－12a.解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．-6-跟踪训练2(1)本例条件不变，试用基底a，b表示AG→；(2)若本例中的基向量“AB→，AD→”换为“CE→，CF→”即若CE→＝a，CF→＝b，试用a，b表示向量DE→，BF→.解析：(1)由平面几何知识知BG＝23BF，故AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BF→＝a＋23b－12a＝a＋23b－13a＝23a＋23b.(2)DE→＝DC→＋CE→＝2FC→＋CE→＝－2CF→＋CE→＝－2b＋a.BF→＝BC→＋CF→＝2EC→＋CF→＝－2CE→＋CF→＝－2a＋b.用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．类型三向量的夹角例3已知|a|＝|b|，且a与b的夹角为120°，求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．【解析】如图，作OA→＝a，OB→＝b，∠AOB＝120°，以OA→，OB→为邻边作平行四边形OACB，则OC→＝a＋b，BA→＝a－b.因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形．所以OC→与OA→的夹角∠AOC＝60°，BA→与OA→的夹角即为BA→与BC→的夹角∠ABC＝30°.所以a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°.作图，由图中找到a→－b→与a→的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按-7-照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，求a＋b与a的夹角，a－b与a的夹角．解析：如图，作OA→＝a，OB→＝b，且∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作▱OACB，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b，BA→＝OA→－OB→＝a－b，BC→＝OA→＝a.因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形．所以∠OAB＝60°＝∠ABC.即a－b与a的夹角为60°.因为|a|＝|b|，所以▱OACB为菱形．所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°.即a＋b与a的夹角为30°.作出向量a→，b→，a→＋b→，a→－b→，利用平面几何知识求解．2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定解析：∵a＋b＝3e1－e2，-8-∴c＝2(a＋b)．∴a＋b与c共线．答案：B2．当向量a与b共线时，则这两个向量的夹角θ为()A．0°B．90°C．180°D．0°或180°解析：当向量a与b共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°.答案：D3．已知AD是△ABC的中线，AB→＝a，AD→＝b，以a，b为基底表示AC→，则AC→＝()A.12(a－b)B．2b－aC.12(b－a)D．2b＋a解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而AD→＝12(AB→＋AC→)，则AC→＝2AD→－AB→＝2b－a.答案：B4．在正方形ABCD中，AC→与CD→的夹角等于()A．45°B．90°C．120°D．135°解析：如图所示，将AC→平移到CE→，则CE→与CD→的夹角即为AC→与CD→的夹角，夹角为135°.答案：D5．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD→＝4DB→＝rAB→＋sAC→，则3r＋s的值为()-9-A.165B.125C.85D.45解析：∵CD→＝4DB→＝rAB→＋sAC→，∴CD→＝45CB→＝45(AB→－AC→)＝rAB→＋sAC→，∴r＝45，s＝－45.∴3r＋s＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，所以3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，所以x－y＝3.答案：37．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，若OA→＝a，OB→＝b，用a，b表示向量OC→，则OC→＝________.解析：AC→＝OC→－OA→，CB→＝OB→－OC→，∵2AC→＋CB→＝0，∴2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0，∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b.答案：2a－b8．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→＝________.解析：BE→＝BC→＋CE→＝AD→－12AB→＝b－12a.-10-答案：b－12a三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解析：因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，所以3x－2y＝7，－2x＋y＝－4，解得x＝1，y＝－2，所以c＝a－2b.10．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM→＝13BC→，CN→＝13CA→，