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-1-第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用.(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式.(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用,培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项,培养逻辑推理及数学运算素养.1.等比数列与指数函数的关系如果数列{an}是等比数列,则an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),故q≠1时点(n,an)均在函数y=a1qx-1的图象上.思考1:我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.等比数列也有类似变形吗?[提示]在等比数列中,由通项公式an=a1qn-1,得anam=a1qn-1a1qm-1=qn-m,所以an=amqn-m(n,m∈N*).思考2:我们知道等差数列的通项公式可以变形为an=dn+a1-d,其单调性由公差的正负确定.等比数列的通项公式是否也可做类似变形?[提示]设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.则an=a1qn-1=a1q·qn,其形式类似于指数型函数,但q可以为负值.由于an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1),所以{an}的单调性由a1,q,q-1的正负共同决定.2.等比数列的性质(1)如果m+n=k+l,则有am·an=ak·al.(2)如果m+n=2k,则有am·an=a2k.(3)在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.(4)如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列1an,{an·bn},bnan,{|an|}仍是等比数列,且公比分别为1q1,q1q2,q2q1,|q1|.(5)等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于-2-首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=ak·an-k+1=….1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列[答案]D2.等比数列{an}中,a1=3,q=2,则a4=______,an=______.243×2n-1[a4=a1q3=3×23=24,an=a1qn-1=3×2n-1.]3.在等比数列{an}中,a5=4,a7=6,则a9=________.9[因为a7=a5q2,所以q2=32.所以a9=a5q4=a5(q2)2=4×94=9.]4.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11的值为________.25[因为a7a12=a8a11=a9a10=5,所以a8a9a10a11=25.]-3-等比数列的性质【例1】在等比数列{an}中,(1)若a3a5a7a9a11=243,求a29a11的值;(2)若an0,且a3a6=32,求log2a1+log2a2+…+log2a8的值.思路探究:利用等比数列的性质,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a2k求解.[解](1)∵a3,a5,a7,a9,a11成等比数列,∴a3a5a7a9a11=a57=243=35,∴a7=3.又a29a11=a7·a11a11=a7,∴a29a11=3.(2)log2a1+log2a2+…+log2a8=log2a1·a2·…·a8=log2(a1·a8)4=log2(a3a6)4=log2324=log2220=20.等比数列中的项的序号若成等差数列,则对应的项依次成等比数列,有关等比数列的计算问题,应充分发挥项的“下标”的“指引”作用,以使运算简便.提醒:在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.1.(1)在各项均为正数的等比数列{an}中,a3·a9=4,a6·a10+a3·a5=41,求a4+a8的值;(2)在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,求a7.[解](1)∵{an}为等比数列,且3+9=4+8,6+10=2×8,3+5=2×4,∴a3·a9=a4·a8=4,a6·a10=a28,a3·a5=a24,∴a6·a10+a3·a5=a28+a24=41,又a4·a8=4,∴(a4+a8)2=41+2×4=49,且an0,∴a4+a8=7.(2)∴a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,-4-∴a5+a9=187,a5·a9=1,∴a50,a90.又∵a27=a5·a9=1,且a7=a5·q20,∴a7=1.等比数列的实际应用【例2】某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示第n(n∈N*)时这辆车的价值;(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?思路探究:根据题意,每年车的价值存在倍数关系,所以能建立等比数列模型来解决.[解](1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为:a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,…,由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=(1-10%)=0.9,∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1.所以n年后车的价值为an=13.5×(0.9)n-1万元.(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.86(万元),所以用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.86万元.解等比数列应用题的一般步骤2.某市2018年建成共有产权住房400万平方米,其中250万平方米是中低价房,预计今年后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积比上一年增加50万平方米,那么到哪一年年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?-5-(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解](1)设中低价房面积构成数列{an},由题意可知,{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+nn-12×50=25n2+225n.令25n2+225n≥4750,得n2+9n-190≥0,令f(n)=n2+9n-190,当f(n)=0时,n1=-19,n2=10,由二次函数的图象得n≤-19或n≥10时,f(n)≥0,而n是正整数.所以n≥10.故到2027年年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积构成数列{bn},由题意可知,{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400×1.08n-1,由题意可知an0.85bn,即250+(n-1)×50400×1.08n-1×0.85,满足不等式的最小正整数n=6.故到2023年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.灵活设项求解等比数列[探究问题]1.若三个数成等比数列,如何设这三个数使计算较为方便?[提示]设等比中项为a,公比为q,则这三个数分别为aq,a,aq,这样计算较为方便.2.若四个数成等比数列,如何设这四个数使计算较为方便?[提示]设这四个数分别为aq3,aq,aq,aq3计算较为方便.【例3】有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数又成等差数列,四个数的和为21,求这四个数.[解]设这四个数为aq,a,aq,b,由题意aq·a·aq=a3=216,解得a=6,则这四个数为6q,6,6q,b,由题意,12q=6+b,6q+6+6q+b=21,-6-解得q=23,b=2,或q=12,b=0.故这四个数为9,6,4,2,或12,6,3,0.1.(变条件)若将本例的条件改为“前三个数的积为-8,后三个数的积为-80”其他条件不变,试求这四个数.[解]由题意设此四个数分别为bq,b,bq,a,则有b3=-8,2bq=a+b,ab2q=-80,解得a=10,b=-2,q=-2或a=-8,b=-2,q=52.所以这四个数分别为1,-2,4,10或-45,-2,-5,-8.2.(变条件)本例四个数满足的条件改为“前三个成等差,后三个成等比,中间两个数之积为16,首尾两个数之积为-128”,求这四个数.[解]设这四个数分别为2aq-a,aq,a,aq,则由题意得a2q=16,2aq-a·aq=-128,解得a=8,q=4或a=-8,q=4.因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.灵活设项求解等比数列问题,要注意题中的隐含条件,及时取舍,做到既快又准确.1.解题时,应该首先考虑通式通法,而不是花费大量时间找简便方法.2.所谓通式通法,指应用通项公式,前n项和公式,等差中项,等比中项等列出方程(组),求出基本量.3.巧用等比数列的性质,减少计算量,这一点在解题中也非常重要.-7-1.判断正误(1)有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.()(2)当q1时,{an}为递增数列.()(3)当q=1时,{an}为常数列.()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](2)当a10且q1时{an}为递增数列,故(2)错.2.在正项等比数列{an}中,3a1,12a3,2a2成等差数列,则a2016-a2017a2014-a2015等于()A.3或-1B.9或1C.1D.9D[由3a1,12a3,2a2成等差数列可得a3=3a1+2a2,即a1q2=3a1+2a1q,∵a1≠0,∴q2-2q-3=0.解得q=3或q=-1(舍).∴a2016-a2017a2014-a2015=a20161-qa20141-q=a2016a2014=q2=9.]3.在12和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为________.8[设插入的3个数依次为a,b,c,即12,a,b,c,8成等比数列,由等比数列的性质可得b2=ac=12×8=4,因为a2=12b0,∴b=2(舍负).所以这3个数的积为abc=4×2=8.]4.已知数列{an}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.[解](1)∵a1a2a3=a32=216,∴a2=6,∴a1a3=36.又∵a1+a3=21-a2=15,∴a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和12.当a1=3时,q=a2a1=2,an=3·2n-1;当a1=12时,q=12,an=12·12n-1.(2)∵a4a8=a3q·a5q3=a3a5q4=18q4=72,∴q4=4,∴q=±2.-8-
本文标题:2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项
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