2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项

-1-第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.1．等比数列与指数函数的关系如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．思考1：我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？[提示]在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得anam＝a1qn－1a1qm－1＝qn－m，所以an＝amqn－m(n，m∈N*)．思考2：我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定．等比数列的通项公式是否也可做类似变形？[提示]设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.则an＝a1qn－1＝a1q·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．2．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a2k.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列1an，{an·bn}，bnan，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为1q1，q1q2，q2q1，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于-2-首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列[答案]D2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝______，an＝______.243×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.9[因为a7＝a5q2，所以q2＝32.所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×94＝9.]4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．25[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]-3-等比数列的性质【例1】在等比数列{an}中，(1)若a3a5a7a9a11＝243，求a29a11的值；(2)若an0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k求解．[解](1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a57＝243＝35，∴a7＝3.又a29a11＝a7·a11a11＝a7，∴a29a11＝3.(2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便.提醒：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.1．(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.[解](1)∵{an}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a6·a10＋a3·a5＝a28＋a24＝41，又a4·a8＝4，∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且an0，∴a4＋a8＝7.(2)∴a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，-4-∴a5＋a9＝187，a5·a9＝1，∴a50，a90.又∵a27＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q20，∴a7＝1.等比数列的实际应用【例2】某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N*)时这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？思路探究：根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．[解](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…，由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.所以n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.86(万元)，所以用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.86万元．解等比数列应用题的一般步骤2．某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？-5-(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解](1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，得n2＋9n－190≥0，令f(n)＝n2＋9n－190，当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10，由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，f(n)≥0，而n是正整数．所以n≥10.故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an0.85bn，即250＋(n－1)×50400×1.08n－1×0.85，满足不等式的最小正整数n＝6.故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.灵活设项求解等比数列[探究问题]1．若三个数成等比数列，如何设这三个数使计算较为方便？[提示]设等比中项为a，公比为q，则这三个数分别为aq，a，aq，这样计算较为方便．2．若四个数成等比数列，如何设这四个数使计算较为方便？[提示]设这四个数分别为aq3，aq，aq，aq3计算较为方便．【例3】有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数．[解]设这四个数为aq，a，aq，b，由题意aq·a·aq＝a3＝216，解得a＝6，则这四个数为6q，6,6q，b，由题意，12q＝6＋b，6q＋6＋6q＋b＝21，-6-解得q＝23，b＝2，或q＝12，b＝0.故这四个数为9,6,4,2，或12,6,3,0.1．(变条件)若将本例的条件改为“前三个数的积为－8，后三个数的积为－80”其他条件不变，试求这四个数．[解]由题意设此四个数分别为bq，b，bq，a，则有b3＝－8，2bq＝a＋b，ab2q＝－80，解得a＝10，b＝－2，q＝－2或a＝－8，b＝－2，q＝52.所以这四个数分别为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.2．(变条件)本例四个数满足的条件改为“前三个成等差，后三个成等比，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128”，求这四个数．[解]设这四个数分别为2aq－a，aq，a，aq，则由题意得a2q＝16，2aq－a·aq＝－128，解得a＝8，q＝4或a＝－8，q＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.灵活设项求解等比数列问题，要注意题中的隐含条件，及时取舍，做到既快又准确.1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.-7-1．判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．()(2)当q1时，{an}为递增数列．()(3)当q＝1时，{an}为常数列．()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](2)当a10且q1时{an}为递增数列，故(2)错．2．在正项等比数列{an}中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2016－a2017a2014－a2015等于()A．3或－1B．9或1C．1D．9D[由3a1，12a3,2a2成等差数列可得a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.解得q＝3或q＝－1(舍)．∴a2016－a2017a2014－a2015＝a20161－qa20141－q＝a2016a2014＝q2＝9.]3．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为________．8[设插入的3个数依次为a，b，c，即12，a，b，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b2＝ac＝12×8＝4，因为a2＝12b0，∴b＝2(舍负)．所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.]4．已知数列{an}为等比数列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.[解](1)∵a1a2a3＝a32＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝a2a1＝2，an＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝12，an＝12·12n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±2.-8-