（全国通用）2019年中考数学复习 第六章 空间与图形 6.3 解直角三角形（讲解部分）检测（pdf

４８　　　§６．３　解直角三角形１５４考点一　锐角三角函数　　１．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，则ｓｉｎＡ＝ａｃ，ｃｏｓＡ＝①　ｂｃ　，ｔａｎＡ＝②　ａｂ　．２．特殊角的三角函数值α３０°４５°６０°示意图ｓｉｎα１２２２③　３２　ｃｏｓα３２④　２２　１２ｔａｎα⑤　３３　１３考点二　解直角三角形　　在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，则有下列关系：（１）直角三角形中角的关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°．（２）直角三角形中边的关系：⑥　ａ２＋ｂ２＝ｃ２　．（３）直角三角形中边角的关系：ｓｉｎＡ＝ｃｏｓＢ＝ａｃ，ｓｉｎＢ＝ｃｏｓ⑦　Ａ　＝ｂｃ，ｔａｎＡ＝１ｔａｎＢ＝⑧　ａｂ　．考点三　解直角三角形的应用　　１．坡度与坡角：如图ａ，通常把坡面的铅直高度ｈ和水平宽度ｌ的比叫做坡度，用字母ｉ表示，即ｉ＝ｈｌ，坡度一般写成１∶ｍ的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有ｉ＝ｈｌ＝ｔａｎα．２．方向角：如图ｂ，Ａ点位于Ｏ点的北偏东３０°方向，而Ｂ点位于Ｏ点的南偏东６０°方向．图ａ　图ｂ􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１５５方法一　运用锐角三角函数进行边角计算的方法　　锐角三角函数是在直角三角形中定义的，没有直角三角形时，需要通过转移角或添加辅助线构造直角三角形，把锐角放在直角三角形中进行相关计算．例１　（２０１５内蒙古呼和浩特，１９，６分）如图，热气球的探测器显示，从热气球Ａ处看一栋高楼顶部Ｂ的仰角为３０°，看这栋高楼底部Ｃ的俯角为６５°，热气球与高楼的水平距离ＡＤ为１２０ｍ．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）解析　在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∵ｔａｎ３０°＝ＢＤＡＤ，∴ＢＤ＝ＡＤ·ｔａｎ３０°＝１２０×３３＝４０３ｍ．（２分）在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∵ｔａｎ６５°＝ＣＤＡＤ，∴ＣＤ＝１２０·ｔａｎ６５°ｍ，（４分）∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝（４０３＋１２０·ｔａｎ６５°）ｍ．答：这栋高楼的高度为（４０３＋１２０·ｔａｎ６５°）ｍ．（６分）　　变式训练１　（２０１８云南昆明，１９，７分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国———南亚博览会”的竖直标语牌ＣＤ，她在Ａ点测得标语牌顶端Ｄ处的仰角为４２°，测得隧道底端Ｂ处的俯角为３０°（Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一条直线上），ＡＢ＝１０ｍ，隧道高６．５ｍ（即ＢＣ＝６．５ｍ），求标语牌ＣＤ的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：ｓｉｎ４２°≈０．６７，ｃｏｓ４２°≈０．７４，ｔａｎ４２°≈０．９０，３≈１．７３）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第六章　空间与图形４９　　　解析　如图，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，（１分）由题意得∠ＤＡＥ＝４２°，∠ＥＡＢ＝３０°，在Ｒｔ△ＡＢＥ中，∠ＡＥＢ＝９０°，ＡＢ＝１０，∠ＥＡＢ＝３０°，∴ＢＥ＝１２ＡＢ＝１２×１０＝５．（２分）∵ｃｏｓ∠ＥＡＢ＝ＡＥＡＢ，∴ＡＥ＝ＡＢ·ｃｏｓ３０°＝１０×３２＝５３．（４分）在Ｒｔ△ＤＥＡ中，∠ＤＥＡ＝９０°，∠ＤＡＥ＝４２°，∵ｔａｎ∠ＤＡＥ＝ＤＥＡＥ，∴ＤＥ＝ＡＥ·ｔａｎ４２°≈５３×０．９０＝９３２，（５分）∴ＣＤ＝ＢＥ＋ＥＤ－ＢＣ＝５＋９３２－６．５≈６．３（ｍ）．（６分）答：标语牌ＣＤ的长约为６．３ｍ．（７分）方法二　利用解直角三角形解决实际问题的方法　　利用解直角三角形解决实际问题时，要读懂题意，分析背景语言，由实物图抽象出数学图形，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系问题．具体方法如下：（１）紧扣三角函数定义，寻找边角关系．（２）添加辅助线，构造直角三角形．作高线是常用的辅助线添加方法．（３）逐个分析相关直角三角形，构造方程求解．一般设最短的边为ｘ，先分别在不同的直角三角形中用含ｘ的代数式表示出未知边，再根据两个直角三角形边的数量关系（和差或相等）列方程求出未知量．例２　（２０１６山西，２１，１０分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢ＡＢ的长度相同，均为３００ｃｍ，ＡＢ的倾斜角为３０°，ＢＥ＝ＣＡ＝５０ｃｍ，支撑角钢ＣＤ，ＥＦ与底座地基台面接触点分别为Ｄ，Ｆ，ＣＤ垂直于地面，ＦＥ⊥ＡＢ于点Ｅ．两个底座地基高度相同（即点Ｄ，Ｆ到地面的垂直距离相同），均为３０ｃｍ，点Ａ到地面的垂直距离为５０ｃｍ，求支撑角钢ＣＤ和ＥＦ的长度各是多少（结果保留根号）．解析　如图，设ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，则∠ＣＡＧ＝３０°．在Ｒｔ△ＡＣＧ中，ＣＧ＝ＡＣ·ｓｉｎ３０°＝５０×１２＝２５ｃｍ．由题意，得ＧＤ＝５０－３０＝２０ｃｍ，∴ＣＤ＝ＣＧ＋ＧＤ＝２５＋２０＝４５ｃｍ．连接ＦＤ并延长与ＢＡ的延长线交于点Ｈ．由题意，得∠Ｈ＝３０°．在Ｒｔ△ＣＤＨ中，ＣＨ＝ＣＤｓｉｎ３０°＝２ＣＤ＝９０ｃｍ，∴ＥＨ＝ＥＣ＋ＣＨ＝ＡＢ－ＢＥ－ＡＣ＋ＣＨ＝３００－５０－５０＋９０＝２９０ｃｍ．在Ｒｔ△ＥＦＨ中，ＥＦ＝ＥＨ·ｔａｎ３０°＝２９０×３３＝２９０３３（ｃｍ）．答：支撑角钢ＣＤ的长为４５ｃｍ，ＥＦ的长为２９０３３ｃｍ．　　变式训练２　（２０１７新疆，１９，１０分）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离ＢＣ为３０ｍ，在Ａ点测得Ｄ点的仰角∠ＥＡＤ为４５°，在Ｂ点测得Ｄ点的仰角∠ＣＢＤ为６０°．求这两座建筑物的高度（结果保留根号）．解析　在Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＤＢＣ＝６０°，ＢＣ＝３０ｍ，∵ｔａｎ６０°＝ＣＤＢＣ，􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋５０　　　５年中考３年模拟∴ＣＤ＝ＢＣ·ｔａｎ６０°＝３０３ｍ，∴乙的高度为３０３ｍ．如图，延长ＡＥ交ＣＤ于点Ｆ，在Ｒｔ△ＡＦＤ中，∠ＤＡＦ＝４５°，∴ＤＦ＝ＡＦ，又∵ＡＦ＝ＢＣ＝３０ｍ，∴ＤＦ＝３０ｍ．∴ＡＢ＝ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝（３０３－３０）ｍ，∴甲的高度为（３０３－３０）ｍ．答：甲、乙这两座建筑物的高度分别为（３０３－３０）ｍ、３０３ｍ．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋