（山东专版）2019版中考数学总复习 第二章 方程（组）与不等式（组）2.4 不等式组（讲解部分）检

第二章　方程（组）与不等式（组）１３　　　§２．４　不等式（组）３８考点清单考点一　不等式及一元一次不等式　　１．不等式的有关概念（１）一般地，用符号①　“＜”（或“≤”）“＞”（或“≥”）　连接的式子叫做不等式．（２）把使不等式成立的②　未知数的值　叫做不等式的解．（３）把使不等式成立的未知数的③　取值范围　叫做不等式的解的集合，简称解集．２．不等式的基本性质不等式的基本性质１：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向④　不变　．不等式的基本性质２：不等式两边乘（或除以）同一个⑤　正数　，不等号的方向不变．不等式的基本性质３：不等式两边乘（或除以）同一个⑥　负数　，不等号的方向⑦　改变　．３．一元一次不等式（１）定义：含有一个未知数，未知数的次数是１的⑧　不等式　，叫做一元一次不等式；（２）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变．考点二　一元一次不等式组　　１．定义：类似于方程组，把几个含有相同未知数的⑨　一元一次不等式　合起来，就组成了一个一元一次不等式组．２．解集：一般地，几个不等式的解集的⑩　公共部分　，叫做由这几个不等式所组成的不等式组的解集．３．解法：先求出各个不等式的解集，然后求出解集的公共部分，可借助于数轴确定它们的公共部分．４．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形，如下表：不等式组（设ａ＜ｂ）图示解集口诀ｘ≥ａｘ≥ｂ{ｘ≥ｂ同大取大ｘ≤ａｘ≤ｂ{ｘ≤ａ同小取小ｘ≥ａｘ≤ｂ{􀃊􀁉􀁓　ａ≤ｘ≤ｂ　大小小大中间找ｘ≤ａｘ≥ｂ{空集大大小小无处找考点三　不等式（组）的应用　　列不等式（组）解应用题的一般步骤（１）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等；（２）设：设出适当的未知数；（３）列：根据题中的不等关系列出不等式；（４）解：求出所列不等式的解集，并在解集中写出满足题意的解；（５）答：完整写出答语．注意题中字母所表示的量的实际意义，如人数为正整数，时间不能为负数等．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋一元二次不等式形如ａｘ２＋ｂｃ＋ｃ＞０（或＜０）（其中ａ≠０）的不等式称为关于ｘ的一元二次不等式．例　解不等式ｘ２＋ｘ－６＞０．分析　不等式左边可以因式分解，根据“符号法则———正正（负负）得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解析　原不等式可以化为（ｘ＋３）（ｘ－２）＞０，于是ｘ＋３＜０，ｘ－２＜０{或ｘ＋３＞０，ｘ－２＞０{⇒ｘ＜－３，ｘ＜２{或ｘ＞－３，ｘ＞２{⇒ｘ＜－３或ｘ＞２．所以，原不等式的解集是ｘ＜－３或ｘ＞２．本题联系一元二次不等式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（或＜０）（ａ≠０）与二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）及一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的关系（简称：三个二次）．还可以有如下解法：（１）作出图象．（２）根据图象容易看到，图象与ｘ轴的交点是（－３，０），（２，０），即当ｘ＝－３或２时，ｙ＝０．就是说对应的一元二次方程ｘ２＋ｘ－６＝０的两实根是ｘ＝－３或ｘ＝２．（３）当ｘ＜－３或ｘ＞２时，ｙ＞０，对应的二次函数的图象位于ｘ轴的上方．就是说ｘ２＋ｘ－６＞０的解集是ｘ＜－３或ｘ＞２．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１４　　　５年中考３年模拟３８方法一　解不等式（组）　　求不等式组的解集时，先分别求出各个不等式的解集，然后按“同大取大，同小取小，大于小数，小于大数取中间，大于大数小于小数无解”，也可以通过数轴来求公共部分．例１　（２０１７北京，１８，５分）解不等式组：２（ｘ＋１）＞５ｘ－７，ｘ＋１０３＞２ｘ．{解析　２（ｘ＋１）＞５ｘ－７，①ｘ＋１０３＞２ｘ，②{解不等式①，得ｘ＜３，解不等式②，得ｘ＜２，∴原不等式组的解集为ｘ＜２．思路分析　分别解两个不等式，得到两个不等式的解集，再根据两个不等式的解集，确定不等式组的解集．易错警示　解这类题最容易出现两方面的错误：一是符号上的错误．其中应特别重视三点：①不等号的两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变；②去括号时，如果括号前是负号，则去掉括号以后，括号内的每一项都要变号；③移项必须变号；二是漏乘．在运用乘法分配律去括号时，括号前的系数要与括号内的每一项相乘，不能漏乘．　　变式训练　（２０１８日照，１７（１），５分）实数ｘ取哪些整数时，不等式２ｘ－１＞ｘ＋１与１２ｘ－１≤７－３２ｘ都成立？解析　根据题意，解不等式组２ｘ－１＞ｘ＋１，①１２ｘ－１≤７－３２ｘ，②{解不等式①，得ｘ＞２，解不等式②，得ｘ≤４，所以不等式组的解集为２＜ｘ≤４．所以ｘ可取的整数是３，４．思路分析　将两个不等式组成不等式组，解不等式组确定解集，再确定整数值．方法二　不等式组解集的讨论　　对于不等式（组）中待定字母取值范围问题，其解题的关键是正确理解不等式解集的意义，从而确定待定字母的取值范围．例２　（２０１７泰安，９，３分）不等式组２ｘ＋９＞６ｘ＋１，ｘ－ｋ＜１{的解集为ｘ＜２，则ｋ的取值范围为（　　）Ａ．ｋ＞１Ｂ．ｋ＜１Ｃ．ｋ≥１Ｄ．ｋ≤１解析　由２ｘ＋９＞６ｘ＋１得ｘ＜２，由ｘ－ｋ＜１得ｘ＜ｋ＋１．因为不等式组的解集为ｘ＜２，所以ｋ＋１≥２，即ｋ≥１．答案　Ｃ思路分析　先分别解两个不等式，然后利用“同小取小”来求解．　　变式训练　（２０１６黑龙江龙东地区，５，３分）不等式组ｘ＜２，ｘ≥ｍ{有３个整数解，则ｍ的取值范围是　　　　．答案　－２＜ｍ≤－１解析　由题意知不等式组的解集为ｍ≤ｘ＜２．∵不等式组ｘ＜２，ｘ≥ｍ{的整数解有３个，∴－２＜ｍ≤－１．方法三　不等式（组）的应用　　列不等式（组）解决实际问题的关键在于通过读题确定题目中的不等关系，从而建立不等式（组）．例３　（２０１８潍坊，２３，１１分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有Ａ，Ｂ两种型号的挖掘机，已知３台Ａ型和５台Ｂ型挖掘机同时施工一小时挖土１６５立方米；４台Ａ型和７台Ｂ型挖掘机同时施工一小时挖土２２５立方米．每台Ａ型挖掘机一小时的施工费用为３００元，每台Ｂ型挖掘机一小时的施工费用为１８０元．（１）分别求每台Ａ型，Ｂ型挖掘机一小时挖土多少立方米；（２）若不同数量∙∙∙∙的Ａ型和Ｂ型挖掘机共１２台同时施工４小时，至少完成１０８０立方米的挖土量，且总费用不超过１２９６０元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元．解析　（１）设每台Ａ型，Ｂ型挖掘机一小时分别挖土ｘ立方米和ｙ立方米，根据题意，得３ｘ＋５ｙ＝１６５，４ｘ＋７ｙ＝２２５，{解得ｘ＝３０，ｙ＝１５．{所以，每台Ａ型挖掘机一小时挖土３０立方米，每台Ｂ型挖掘机一小时挖土１５立方米．（２）设总费用为Ｗ元，Ａ型挖掘机有ｍ台（ｍ为正整数），则Ｂ型挖掘机有（１２－ｍ）台，（１２－ｍ）为正整数．根据题意，得Ｗ＝４×３００ｍ＋４×１８０（１２－ｍ）＝４８０ｍ＋８６４０，由４×３０ｍ＋４×１５（１２－ｍ）≥１０８０，４×３００ｍ＋４×１８０（１２－ｍ）≤１２９６０，{解得ｍ≥６，ｍ≤９，{因为ｍ≠１２－ｍ，且ｍ为正整数，即ｍ≠６，且ｍ为正整数，所以７≤ｍ≤９．所以，共有三种调配方案：方案一：当ｍ＝７时，１２－ｍ＝５，即Ａ型挖掘机７台，Ｂ型挖掘机５台；方案二：当ｍ＝８时，１２－ｍ＝４，即Ａ型挖掘机８台，Ｂ型挖掘机４台；方案三：当ｍ＝９时，１２－ｍ＝３，即Ａ型挖掘机９台，Ｂ型挖掘机３台．∵４８０＞０，由一次函数的性质可知，Ｗ随ｍ的减小而减小，∴当ｍ＝７时，Ｗ最小＝４８０×７＋８６４０＝１２０００，∴调配方案为Ａ型挖掘机７台，Ｂ型挖掘机５台时，施工费用最低，最低费用为１２０００元．思路分析　（１）根据两种挖掘机挖土的数量列二元一次方程组求解即可；（２）设Ａ型挖掘机有ｍ台，则Ｂ型挖掘机有（１２－ｍ）台，根据挖土量和施工费用列出不等式组取整数解，即可求出调配方案，设施工费用为Ｗ元，可列出施工费用Ｗ与ｍ的函数关系式，利用函数的增减性求最低费用．方法规律　运用方程（组）和不等式（组）解决实际问题时，从实际问题中发现相等关系或不等关系，通过方程（组）模型或不等式（组）模型解决实际问题．列方程（组）或不等式（组）解􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第二章　方程（组）与不等式（组）１５　　　应用题的基本思路如下：首先审题，找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为ｘ，然后用含ｘ的代数式表示相关的量，找出其间的相等或不等关系，列方程（组）或不等式（组），求解，检验，作答，即审、设、列、解、验、答．解后反思　对于实际问题的解决，主要是正确分析题意，找出满足条件的等量关系或不等关系，然后根据等量关系列出方程（组），根据不等关系列出不等式（组）．在解不等式（组）的应用题中，要注意题目中表示不等关系的词语，如“不大于”“不小于”“不超过”“不低于”等．解决实际问题时还要注意问题的实际意义．　　变式训练　（２０１７四川攀枝花，２０，８分）攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了２箱Ａ品种芒果和３箱Ｂ品种芒果，共花费４５０元；后又购买了１箱Ａ品种芒果和２箱Ｂ品种芒果，共花费２７５元（每次两种芒果的售价都不变）．（１）问Ａ品种芒果和Ｂ品种芒果的售价分别是每箱多少元？（２）现要购买两种芒果共１８箱，要求Ｂ品种芒果的数量不少于Ａ品种芒果数量的２倍，但不超过Ａ品种芒果数量的４倍．请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．解析　（１）设Ａ品种芒果的售价为每箱ｘ元，Ｂ品种芒果的售价为每箱ｙ元，根据题意，得２ｘ＋３ｙ＝４５０，ｘ＋２ｙ＝２７５，{解得ｘ＝７５，ｙ＝１００．{答：Ａ品种芒果的售价为每箱７５元，Ｂ品种芒果的售价为每箱１００元．（２）设购买Ａ品种芒果的数量为ａ箱，则购买Ｂ品种的芒果数量为（１８－ａ）箱，总费用为ｗ元，根据题意可得１８－ａ≥２ａ，１８－ａ≤４ａ，{解得１８５≤ａ≤６，即ａ取４、５、６三个整数解，则ｗ＝７５ａ＋１００（１８－ａ）＝１８００－２５ａ，所以当ａ＝６时，ｗｍｉｎ＝１６５０元．即当购买６箱Ａ品种芒果，１２箱Ｂ品种芒果时所需费用最低，最低费用为１６５０元．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋