解析几何突破策略

身需彩凤双飞翼，心有灵犀一点通——解析几何高考真题的源与流一圆锥曲线与解析几何的诞生二解析几何的魂与魄三近三年解几真题的多维度赏析四高考解几真题的背景分析与热点揭秘解析几何高考真题的源与流一圆锥曲线与解析几何的诞生二解析几何的魂与魄一个精髓：由谁决定两个视角：数的视角与形的视角两种方法：相交必联立、在上必代入两门艺术：设的艺术、算的艺术四大思想：函数与方程的思想、数形结合的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想以美启真正难则反倒顺相通动静转换分合相辅引参求变以简驱繁变换主元两大题型静态的：如求离心率、定值问题、定点问题动态的：如求轨迹、求最值、求范围三近三年解几真题的多维度赏析2010年各地试卷有三大特点:1．重点突出;2．焦点集中;3．亮点璀璨.六百余题多亮点，三十六卷各千秋全国Ⅱ卷中解析几何约占27分,一大三小例（2008年全国Ⅱ卷）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AFBE面积的最大值．)0(kkxyDFByxAOE例（2008年全国Ⅱ卷）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AFBE面积的最大值．)0(kkxyDFByxAOE解法三22)sin(22sin2cos22yx该题环境简洁,不落俗套，图形给人以美的的视觉感受！令人耳目一新。问渠哪得清如许,惟有源头活水来!它究竟来自何方？事实上,它是一道以课本习题为原型,以“新情景”、“新视角”、“新问题”的手法而命制的好题.再一次体现了高考命题“源于课本，高于课本,跳出题海”的命题宗旨.DFByxAOE教材105页例3、如图，在圆上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹422yx解:设点M坐标为M(x,y),点P的坐标为P(x’,y’),则由题意可得：yyxx2''因为42'2'yx所以4422yx即1422yx这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。oxyPMD将椭圆12222byax通过变换''yabyxx变为圆22'2'ayx，即将椭圆的问题圆化，称为仿射变换。仿射变换下的不变性和不变量：同素性、结合性不变；任意两个对应多边形面积的比、任意两条对应封闭凸曲线所围成的面积的比及横坐标不变。ab椭圆圆椭圆大三角形小三角形，得由SSSSS例（2008年全国Ⅱ卷）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AFBE面积的最大值．)0(kkxyDFByxAOE解法四椭圆2214xy，通过''21yyxx变为42'2'yx，四边形AEBF变为圆42'2'yx的内接四边形''''FBEA，A与'A重合，且212212''''圆椭圆SSSSFBEAAEBF，又因2422421'''FBAES(圆42'2'yx的内接四边形''''FBEA，当两条对角线相互垂直时面积最大)故四边形AEBF面积的最大值为222421。椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成。运用椭圆与圆之间的这种关系，思考（1）圆的弦的中点与圆心的连线与该弦互相垂直；（2）构成圆周角是直角的两条弦的斜率之积为-1，即设P，A，B是圆222ryx上的三点，如果1PBPAkk，则A、O、B三点共线。反过来，如果A、O、B三点共线，则1PBPAkk等。通过类比迁移到圆锥曲线，又会得到什么样的结论呢？命题122ab是椭圆2222byax=1的任一弦（与坐标轴平行的弦除外，下同略）的斜率与中心和弦中点连线斜率之积。[证]设l交椭圆两点为A（11,yx），B（22,yx），AB中点为G（2,22121yyxx）∴2121xxyykAB，2121xxyykOG，由A，B在椭圆上可得：22212212bayaxb，22222222bayaxb，相减：0)()(2221222212yyaxxb，2222212221abxxyykkOGAB∴显然，当直线l与椭圆相切时，G就成为切点，故推论1：22ab是椭圆2222byax=1的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积。命题2：22ab是双曲线2222byax=1的任一弦线斜率与中心和弦中点连线斜率之积。证明原理同命题1（从略），同样，当弦线成为切线时，其中点G就为切点，故仍有：推论2：22ab是双曲线2222byax=1的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积。（2009年全国II卷）（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为)0(12222babyax3322题源2006年，全国卷Ⅰ，理20．在平面直角坐标系xoy中，有一个以1(0,3)F和2(0,3)F为焦点，离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P在C上，C在P点处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB，求（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）OM的最小值．（2009年全国II卷）已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为22（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由。22)0(12222babyax33（2009年全国II卷）（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B22)0(12222babyax33解：（Ⅰ）设,0,cF当l的斜率为1时，其方程为Ocyx,0到l的距离为2200cc故222c，1cw.w.w.k由33ace得3a，22cab=2（Ⅱ）法二(ⅰ))1(xkylxl的方程为轴时，设不垂直当由（Ⅰ）知C的方程为22x+23y=6.设Psin2,cos3).,(),,(2211yxByxAOP点中点，即AB中点G（cos23)sin22,，又G在l上，故sin22=k（cos231）……①，又OBOAOP故sin2,cos32121yyxx由,123,12322222121yxyx两式相减，并整理得中点弦关系式22abKKOGAB故sin22cos33k②由①②消去K得,21sin,23cos因此，当2k时，)22,23(P，022yxl的方程为；当2k时，)22,23(P，022yxl的方程为。（ⅱ）当l垂直于x轴时，由)0,2(OBOA知，C上不存在点P使OBOAOP成立。综上，C上存在点)22,23(P使OBOAOP成立，此时l的方程为022yx.己知斜率为1的直线l与双曲线C：2222100xyabab＞，＞相交于B、D两点，且BD的中点为1,3M．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DFBF，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．(2010年全国Ⅱ卷)法一解：（I）由题设知，l的方程为.2xy代入C的方程，并化简得，.044)(2222222baaxaxab设),(),,(2211yxDyxB则,4,422222122221abbaaxxabaxx①由)3,1(M为BD的中点知,1221xx故.1421222aba即,322ab②故.222abac所以C的离心率.2ace法二设),(),,(2211yxDyxB由,1,1222222221221byaxbyax两式相减，并整理得中点弦关系式22abkkBDOM即,322ab②故.222abac所以C的离心率.2ace这是一个典型的几何模型，俗称“三节棍”．2009和2010年各地考题能用这个模型解决的解析几何和立体几何问题不下十余道．可谓“一棍打遍天下”,应用范围极其广泛．四高考解几真题的背景分析与热点揭秘高考真题命题背景解析几何命题热点揭秘趣说阿波罗尼圆，蝴蝶飞舞进考苑仿射变换成亮点，定义必考抛物线小题常把焦点选，大题关注中点弦身需彩凤双飞翼，雄心壮志冲云天课改理念已渗透，平几给力重引参向量函导不等式，考点交汇多璀璨如08年江苏第13题：满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC面积的最大值为_____.点评：若直接用“形”有一定的难度，若利用“数”运算，联想到阿波罗尼圆，则问题利于求解。题源:教材第2册上86页例5趣说阿波罗尼圆2008四川理12,2006年四川理6,2003年北京春招20题完全是阿波罗尼圆的原版||12ABr2蝴蝶飞舞进考苑例（2008年全国Ⅱ卷）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AFBE面积的最大值．)0(kkxyDFByxAOE仿射变换成亮点另有2010年江苏18,2006年广东20，陕西理22，湖南理19属同类型题（2009年全国II卷）9.已知直线20ykxk与抛物线2:8Cyx相交于AB、两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则kA.13B.23C.23D.223定义必考抛物线（2009年全国II卷11.）已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．65B.75C.58D.95小题常把焦点选另全国II卷2008理16、2010理12属同类型题cos1cos1ee大题关注中点弦近三年的解几大题，都和中点弦有关。DFByxAOE2008图2009图2010图解析几何命题趋势预测趣说阿波罗尼圆，蝴蝶飞舞进考苑仿射变换成亮点，定义必考抛物线小题常把焦点选，大题关注中点弦课改理念已渗透，平几给力重引参2010年这道解几题，是很有特色的一道题目,“浑身上下”都透着“灵秀”之气，且蕴涵着“真”“善”“美”.真：“过BDF的圆竟是以M为圆心的圆，是不争的事实，情理之中、预料之外，真的稳健，真的严谨,真的奔放！善：一个以M为圆心、以BD为直径的圆，而且是与X轴相切的圆，圆,象征着圆满、完美、和谐，以美储善、爱洒考苑，学子梦圆！美：该图与其说是一个几何图形,不如说是一幅美丽的画面,描绘的是一代天骄，金戈铁马，弯弓射大雕！美的波澜壮阔，美的对称和谐！课改理念已渗透例12(2009全国II理16)已知ACBD、为圆O:224xy的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为．解析：设圆心O到ACBD、的距离分别为12dd、,则222123ddOM+.平几给力重引参平面几何渗透在三角、向量、解几、立几中，不容忽视。本题还可用直线的参数方程。DFByxAOE向量函导不等式，考点交汇多璀璨身需彩凤双飞翼，雄心壮志冲云天知识与能力思想与方法通法与特技结果与过程情感与态度感性与理性哲学与美学科学与艺术谢谢！交流联系方式:E-mail:[e-mail]