（文理通用）江苏省2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数、不等式 第21讲 函数与导数的实际应

第21讲函数与导数的实际应用题型一与空间几何体有关的最值问题[例1](2019·南京、盐城一模)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD(如图①所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰．好．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图②所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形，且弧EF，GH分别与边BC，AD相切于点M，N.(1)当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？[解](1)连结MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R，在Rt△OET中，因为∠EOT＝12∠EOF＝60°，所以OT＝R2，则MT＝OM－OT＝R2.从而BE＝MT＝R2，即R＝2BE＝2.故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3－3.又所得柱体的高EG＝4，所以V＝S×EG＝16π3－43.故当BE长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为16π3－43立方分米．(2)设BE＝x，则R＝2x，所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3－3x2.又所得柱体的高EG＝6－2x，所以V＝S×EG＝8π3－23(－x3＋3x2)，其中0x3.令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0,3)，则由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0－f(x)极大值所以当x＝2时，f(x)取得极大值，也是最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．[解题方略]解函数应用题的四步骤[针对训练](2019·南通学科基地卷)如图①是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r分米的半圆，及矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图②.为了美观，要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？解：(1)由题意可知4＝4r12πr2＋2ar＝2πr3＋8ar2，所以a＝4－2πr38r2＝2－πr34r2.又因为r≤a≤2r，得328＋π≤r≤324＋π.所以y＝4r(2a＋2r)＋4ar＋2(πr×4r＋πr2)＝12ar＋8r2＋10πr2＝12r×2－πr34r2＋8r2＋10πr2＝6r＋(8＋7π)r2，∴y＝6r＋(8＋7π)r2，r∈328＋π，324＋π.(2)令f(r)＝6r＋(8＋7π)r2，所以f′(r)＝－6r2＋(16＋14π)r，令f′(r)＝0，即6r2＝(16＋14π)r，解得r＝338＋7π，当r＞338＋7π时，f′(r)＞0，函数y＝f(r)为增函数；当r＜338＋7π时，f′(r)＜0，函数y＝f(r)为减函数．又因为328＋π≤r≤324＋π，所以函数y＝f(r)在328＋π，324＋π上为增函数，所以当r＝328＋π时，首饰盒制作费用最低．答：当r＝328＋π时，该首饰盒的制作费用最低．题型二设计优化问题[例2]某地区以建设“美丽城市”为契机打造园林城市．如图为一块平行四边形ABCD主题公园，AB＝a，∠A＝120°，现计划划出一个以A为顶点的△AMN区域进行绿化，使M，N分别在AB，AD边上，且△AMN的周长为p(p＞2a)．设AN＝x，绿化面积为S.(1)求S关于x的函数关系式及定义域；(2)确定M的位置使绿化面积最大．[解](1)设AM＝m，在△AMN中，由余弦定理得，MN＝x2＋m2＋mx，所以x＋m＋x2＋m2＋mx＝p，整理得m＝p2－2px2p－x.所以S＝12mxsin120°＝34p·px－2x22p－x.由0＜x≤a，px－2x22p－x＞0，p＞2a，得0＜x≤a，所以函数的定义域为(0，a]．(2)设f(x)＝px－2x22p－x，x∈(0，a]，则f′(x)＝p－4x2p－x＋px－2x22p－x2＝2x2－4px＋p22p－x2.令f′(x)＝0，得x＝2p±3p，由于2p＋3p＞a舍去，①当(2－3)p＜a，即2a＜p＜(2＋3)a时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，(2－3)p)(2－3)p((2－3)p，a)f′(x)＋0－f(x)极大值所以，当x＝(2－3)p时S最大，即AN＝(2－3)p＝2p－3p；②当(2－3)p≥a即p≥(2＋3)a时f(x)在(0，a]上为增函数，所以，当x＝a时S最大，即AN＝a.综上可知，当a＞(2－3)p时，AN＝(2－3)p时绿化面积最大，当a≤(2－3)p时，AN＝a时绿化面积最大．[解题方略]利用导数解决实际问题，要熟悉常见模型的求导，如分式函数、三次函数、三角函数、指数、对数函数的求导，特别要注意区分多字母的函数模型哪个是变量，哪个是参数．[针对训练]在国家批复成立江北新区后，南京市政府规划在新区内的一块地上新建一个全民健身中心，规划区域为四边形ABCD，如图，OP∥AQ，OA⊥AQ，点B在线段OA上，点C，D分别在射线OP与AQ上，且A和C关于BD对称．已知OA＝2.(1)若OC＝1，求BD的长；(2)问点C在何处时，规划区域的面积最小？最小值是多少？解：(1)以O为原点，直线OA为x轴，直线OP为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2,0)，C(0,1)，设AC与BD的交点为M，因为A和C关于BD对称，所以点M的坐标为1，12，所以直线BD的方程为y－12＝2(x－1)，即2x－y－32＝0，从而可得D2，52，B34，0，所以BD＝2－342＋52－02＝554.(2)建系同(1)，设C(0,2b)，b＞0，则直线AC的方程为x2＋y2b＝1，设AC的中点为M，则M的坐标为(1，b)．因为A和C关于直线BD对称，所以易得直线BD的方程为y－b＝1b(x－1)，所以D2，1b＋b，B(1－b2,0)，所以S四边形ABCD＝2S△ABD＝(1＋b2)b＋1b＝b3＋2b＋1b.令S(b)＝b3＋2b＋1b，由条件知：2b＞0,1－b2＞0，b＋1b＞0，故有0＜b＜1.S′(b)＝3b2＋2－1b2，令3b2＋2－1b2＝0，可得b＝33(舍负)，当b∈0，33时，S′(b)＜0，S(b)单调递减；当b∈33，1时，S′(b)＞0，S(b)单调递增，所以当b＝33，即点C离O为233处时，规划区域的面积最小，最小值为1639.题型三新定义函数问题[例3]已知f(x)是定义在集合M上的函数．若区间D⊆M，且对任意x0∈D，均有f(x0)∈D，则称函数f(x)在区间D上封闭．(1)判断f(x)＝x－1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由；(2)若函数g(x)＝3x＋ax＋1在区间[3,10]上封闭，求实数a的取值范围；(3)若函数h(x)＝x3－3x在区间[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封闭，求a，b的值．[解](1)因为函数f(x)＝x－1在区间[－2,1]上单调递增，所以当x∈[－2,1]时，f(x)的值域为[－3,0]．而[－3,0]⊄[－2,1]，所以函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的．(2)因为g(x)＝3x＋ax＋1＝3＋a－3x＋1.①当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}⊆[3,10]，故a＝3满足题意；②当a＞3时，在区间[3,10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的值域为30＋a11，9＋a4.由30＋a11，9＋a4⊆[3,10]得30＋a11≥3，9＋a4≤10，解得3≤a≤31，故3＜a≤31；③当a＜3时，在区间[3,10]上，有g(x)＝3＋a－3x＋1＜3，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是[3,31]．(3)因为h(x)＝x3－3x，所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．因为当x＜－1或x＞1时，h′(x)＞0；当x＝－1或x＝1时，h′(x)＝0；当－1＜x＜1时，h′(x)＜0，所以函数h(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.由题意知ha＝a3－3a≥a，hb＝b3－3b≤b，即aa＋2a－2≥0，bb＋2b－2≤0，解得－2≤a≤0或a≥2，b≤－2或0≤b≤2.因为a＜b，所以－2≤a≤0,0≤b≤2.又a，b∈Z，故a只可能取－2，－1,0，b只可能取0,1,2.①当a＝－2时，因为b＞0，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.经检验，a＝－2，b＝2符合题意；②当a＝－1时，由h(－1)＝2，得b＝2，此时h(1)＝－2∈/[－1,2]，不符合题意；③当a＝0时，显然不符合题意．综上所述，a＝－2，b＝2.[解题方略]函数新定义问题的求解策略对于函数的新定义问题，通过仔细阅读，分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向，然后准确作答．解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题．[针对训练](2019·泰州期末)设A，B为函数y＝f(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数．在点A，B处分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条不重合的切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1)若函数f(x)＝lnx，0x1，ax2，x1不存在“优点”，求实数a的值；(2)求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；(3)求证：函数f(x)＝lnx的“优点”一定落在第一象限．解：(1)不妨设A(t，f(t))(0t1)，当0x1时，f′(x)＝1x，则f′(t)＝1t；当x1时，f′(x)＝2ax，则f′1t＝2at，因为函数f(x)＝lnx，0x1，ax2，x1不存在“优点”，所以对任意的0t1，都有1t＝2at，所以a＝12.(2)设A(t，t2)，B1t，1t2，由题意知t≠0，±1，过A，B两点的切线方程分别为y－t2＝2t(x－t)，y－1t2＝2tx－1t，联立得2t(x－t)＋t2＝2tx－1t＋1t2，即2t－1tx＝t2－1t2，所以x＝12t＋1t，因为t≠±1，所以当t0时，t＋1t2；当t0时，t＋1t－2，∴当t＞0时，12t＋1t＞1，当t＜0时，12t＋1t＜－1，所以“优点”横坐标的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3)证明：设“优点”为P(x0，y0)，只要证x00，y00.设A(t，lnt)，B1t，－lnt，不妨设A在B的右边，则t1，过A，B的切线方程分别为y＝1t(x－t)＋lnt，y＝tx－1t－lnt，联立这两个方程得x0＝2tt2－1lnt，y0＝t2＋1lntt2－1－1，因为t1，所以x0＝2tt2－1lnt0，设h(t)＝lnt－t2－1t2＋1(t1)，则h′(t)＝t2－12tt2＋120.所以函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以h(t)h(1)＝0，则lntt2－1t2＋1.因为当t1时，t2－10，所以y0＝t2＋1lntt2－1－10.故函数f(x)＝lnx