（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.1 不等式的性质、一元二次不等式的解法

第六章不等式第一节不等式的性质、一元二次不等式的解法内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评【教材·知识梳理】1.两个实数比较大小的依据(1)a-b0⇔a__b.(2)a-b=0⇔a__b.(3)a-b0⇔a__b.=2.不等式的基本性质(1)对称性:ab⇔____.(2)传递性:ab,bc⇒____.(3)可加性:ab⇒a+cb+c.(4)可乘性:ab,c0⇒______;ab,c0⇒______.(5)加法法则:ab,cd⇒________.(6)乘法法则:ab0,cd0⇒______.(7)乘方法则:ab0⇒_____(n∈N,n≥1).(8)开方法则:ab0⇒_________(n∈N,n≥2).baacacbcacbca+cb+dacbdanbnnnab3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根___________________________________________________没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集_______________________Rax2+bx+c0(a0)的解集___________∅__有两个相异实根x1,x2(x1x2)有两个相等实根x1=x2=-{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x1xx2}∅b2a【常用结论】1.倒数性质，若ab0，ab，则.2.若ab0，m0，则.3.(1)0(0)⇔f(x)·g(x)0(0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心是将分式不等式转化为整式不等式.1a1bbabmamfxgxfxgx4.不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立⇔或不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立⇔或ab0c0＝＝，a00.，ab0c0＝＝，a00.，【知识点辨析】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)ab⇔ac2bc2.()(2)若不等式ax2+bx+c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a0且Δ=b2-4ac≤0.()提示：(1)×.由不等式的性质，c≠0时，ac2bc2⇔ab；反之，c=0时，abac2bc2.(2)√.由一元二次不等式的解集可知，正确.(3)×.当a=0，b=0，c0时也成立.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视二次项的系数为正考点二、T12忽略根的大小考点二、T33忽视不等式与相应函数的关系考点三、角度2,3【教材·基础自测】1(必修5P67练习BT1改编)下列结论不正确的是()A.若ab,c0,则acbcB.若ab,c0,则C.若ab,则a+cb+cD.若ab,则a-cb-c【解析】选B.A.满足不等式基本性质的可乘性.B.若ab,c0,则的大小关系不确定,因此不正确.C、D满足不等式基本性质的可加性.ccabccab与2.(必修5P67习题3-1AT2(1)改编)已知a=1,b=,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bcaD.cba【解析】选A.由,所以bc,又b1,c1,综上,abc.32c65，＝11326532653265，，而3.(必修5P78练习AT1改编)不等式x2+2x-30的解集为()A.{x|-3x1}B.{x|-1x3}C.{x|x-3或x1}D.{x|x-1或x3}【解析】选C.根据题意,方程x2+2x-3=0有两个根,即-3和1,则x2+2x-30的解集为{x|x-3或x1}.4.(必修5P77例5改编)设集合A={x|x2+x-6≤0},集合B为函数y=的定义域,则A∩B等于()A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]【解析】选D.A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},由x-10得x1,即B={x|x1},所以A∩B={x|1x≤2}.1x15.(必修5P80习题3-3BT3改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是()A.(4,+∞)B.(-∞,4)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则只需要f(1)0,即f(1)=1-a+30,得a4,即实数a的取值范围是(4,+∞).【思想方法】转化与化归思想在一元二次不等式中的应用【典例】(2019·金华模拟)关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为[a,b],则a-b=()A.-1B.-2C.-3D.-434【解析】选D.令f(x)=x2-3x+4,则f(x)=(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,ab,b2由f(b)=b得到b2-3b+4=b,解得b=(舍去)或b=4,由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.34344334【思想方法指导】三个“二次”关系的应用一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.【迁移应用】若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围为________.【解析】设函数f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,因为方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2),如图,所以则-4m-2,即实数m的取值范围是(-4,-2).答案:(-4,-2)f00f0m20m2f10f12m80m4m0f20f23m0，所以，即，