（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 概率（部分） 2.5.2 离散型随机变量的方差课

2．5.2离散型随机变量的方差一、预习教材·问题导入预习课本P64～67，思考并完成以下问题1．离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？2．方差具有哪些性质？3．两点分布与二项分布的方差分别是什么？二、归纳总结·核心必记1．离散型随机变量的方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)＝________________为随机变量X的方差，其算术平方根D(X)为随机变量X的．标准差i＝1n(xi－E(X))2pi(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的越小．2．几个常见的结论(1)D(aX＋b)＝．(2)若X服从两点分布，则D(X)＝．(3)若X～B(n，p)，则D(X)＝．平均程度平均程度a2D(X)p(1－p)np(1－p)三、基本技能·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()(2)若a是常数，则D(a)＝0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．()×√√答案：A2．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5,则E(X)和D(X)分别为()A．0.5和0.25B．0.5和0.75C．1和0.25D．1和0.753．D(ξ－D(ξ))的值为()A．无法求B．0C．D(ξ)D．2D(ξ)答案：C4．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于．答案：0.196[典例](1)已知随机变量X的分布列为：X012345P0.10.150.250.250.150.1则D(X)＝.考点一求离散型随机变量的方差(2)(2019·杭州高三质检)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________．解析：(1)因为E(X)＝0.1×0＋0.15×1＋0.25×2＋0.25×3＋0.15×4＋0.1×5＝2.5，所以D(X)＝(0－2.5)2×0.1＋(1－2.5)2×0.15＋(2－2.5)2×0.25＋(3－2.5)2×0.25＋(4－2.5)2×0.15＋(5－2.5)2×0.1＝2.05.(2)法一：由题意知ξ可能的取值为0,1，故ξ的分布列为ξ01P1－pp所以E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤p＋1－p22＝14，当且仅当p＝1－p，即p＝12时等号成立．故期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为14.法二：由题意知，随机变量ξ服从两点分布，其发生的概率为p，不发生的概率为1－p，所以E(ξ)＝p，D(ξ)＝p(1－p)＝－p－122＋14≤14.答案：(1)2.05(2)p14[类题通法]求离散型随机变量X的方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)；(4)根据公式计算方差．[针对训练](2019·浙江六校联考)甲、乙同学参加“中学生辩论赛”的选拔测试，在相同的测试条件下，甲、乙5次测试的成绩(单位：分)如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595若从甲、乙5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，则抽到的2个成绩中高于80分的个数X的数学期望为________，方差为________．解析：由题意知，X的所有可能取值为0,1,2，且从甲、乙5次的成绩中各随机抽取1次，甲的成绩高于80分的概率P1＝25，乙的成绩高于80分的概率P2＝45，则P(X＝0)＝35×15＝325，P(X＝1)＝25×15＋35×45＝1425，P(X＝2)＝25×45＝825.故X的分布列为X012P3251425825数学期望E(X)＝0×325＋1×1425＋2×825＝65，方差D(X)＝325×65－02＋1425×65－12＋825×65－22＝25.答案：6525[典例]已知随机变量X的分布列是X01234P0.20.20.30.20.1试求D(X)和D(2X－1)．考点二离散型随机变量方差的性质[解]E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.∴D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.利用方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X)．∵D(X)＝1.56,∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.[类题通法]求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；二是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[针对训练]已知随机变量ξ的分布列为：ξ01xP1213p若E(ξ)＝23.(1)求D(ξ)的值；(2)若η＝3ξ－2，求D(η)的值．解：由分布列的性质，得12＋13＋p＝1，解得p＝16，∵E(ξ)＝0×12＋1×13＋16x＝23，∴x＝2.(1)D(ξ)＝0－232×12＋1－232×13＋2－232×16＝1527＝59.(2)∵η＝3ξ－2，∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)＝5，∴D(η)＝5.[典例]为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中的10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．考点三方差的实际问题[解](1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D(ξ)D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．[类题通法]利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．[针对训练]甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0.30.30.20.2乙保护区：Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．