（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题五 小题考法课二 基本初等函数、函数与方程、函数模型的

小题考法课二基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用考点(一)基本初等函数的概念、图象与性质[考查趋向]主要考查指数函数、对数函数的运算及其图象与性质；幂函数的图象与性质、二次函数的图象与性质及最值问题.[试典题——考点悟通][典例](1)(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关(2)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．bcaD．cab(3)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.[解析](1)f(x)＝x＋a22－a24＋b，①当0≤－a2≤1时，f(x)min＝m＝f－a2＝－a24＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，∴M－m＝maxa24，1＋a＋a24与a有关，与b无关；②当－a20时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴M－m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－a21时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关．(2)a＝log52log55＝12，而c＝0.50.20.51＝12，故ac；b＝log0.50.2log0.50.25＝2，而c＝0.50.20.50＝1，故cb.所以acb.(3)设x0，则－x0.∵当x0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又∵f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.[答案](1)B(2)A(3)－3[学技法——融会贯通]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较．(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[对点练——触类旁通]1．已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数解析：选A因为f(x)＝3x－13x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－3x－13x＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝13x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－13x在R上是增函数．2．(2018·天津高考)已知a＝log372，b＝1413，c＝，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析：选D∵c＝＝log35，a＝log372，又y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，∴log35＞log372＞log33＝1，∴c＞a＞1.∵y＝14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴＜140＝1，即b＜1.∴c＞a＞b.3．计算：42×80.25＋(－2018)0＝________，log23×log34＋(3)log34＝________.解析：42×80.25＋(－2018)0＝214×234＋1＝3，log23×log34＋(3)log34＝lg3lg2×lg4lg3＋312log34＝2＋3log32＝4.答案：344．(2019·宁波高三期末)已知实数a＞0且a≠1.若loga78＝2，则a＋1a＝________；若0＜loga78＜1，则实数a的取值范围是________．解析：实数a＞0且a≠1，若loga78＝2，∴a2＝78，∴a＝144，∴a＋1a＝144＋414＝151428.若0＜loga78＜1,0＜a＜78，即a的取值范围是0，78.答案：1514280，78考点(二)函数的零点[考查趋向]主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值或范围.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·浙江五校联考)已知函数f(x)＝|log2x|，x＞0，1－x，x≤0，函数g(x)＝|2f(x)－m|－1，且m∈Z，若函数g(x)存在5个零点，则m的值为()A．5B．3C．2D．1(2)已知函数f(x)＝|log21－x|，x1，－x2＋4x－2，x≥1，则方程fx＋1x－2＝1的实根个数为()A．8B．7C．6D．5(3)(2019·江苏高考)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0,2]时，f(x)＝1－x－12，g(x)＝kx＋2，0x≤1，－12，1x≤2，其中k0.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．[解析](1)由g(x)＝|2f(x)－m|－1＝0得f(x)＝m±12，则函数g(x)存在5个零点等价于函数f(x)的图象与直线y＝m＋12和直线y＝m－12的交点个数之和为5，画出函数f(x)的图象如图所示，由图易得要使函数f(x)的图象与直线y＝m＋12和y＝m－12的交点个数之和为5，则m＋12≥1，0＜m－12＜1或m－12≥1，0＜m＋12＜1，解得1＜m＜3，又因为m∈Z，所以m＝2，故选C.(2)令f(x)＝1，得x＝3或x＝1或x＝12或x＝－1，∵fx＋1x－2＝1，∴x＋1x－2＝3或x＋1x－2＝1或x＋1x－2＝12或x＋1x－2＝－1.令g(x)＝x＋1x－2，则当x0时，g(x)≥2－2＝0，当x0时，g(x)≤－2－2＝－4，作出g(x)的函数图象如图所示：∴方程x＋1x－2＝3，x＋1x－2＝1，x＋1x－2＝12均有两解，方程x＋1x－2＝－1无解．∴方程fx＋1x－2＝1有6解．故选C.(3)当x∈(0,2]时，y＝f(x)＝1－x－12⇔(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，结合f(x)是周期为4的奇函数，可作出f(x)在(0,9]上的图象如图所示．∵当x∈(1,2]时，g(x)＝－12，又g(x)的周期为2，∴当x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时，g(x)＝－12.由图可知，当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点，∴当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．又当x∈(0,1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k0)恒过定点A(－2,0)，由图可知，当x∈(2,3]∪(6,7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，∴当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点．由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0,1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点．当y＝k(x＋2)与圆弧(x－1)2＋y2＝1(0x≤1)相切时，d＝|3k|k2＋1＝1⇒k2＝18(k0)⇒k＝24.当y＝k(x＋2)过点A(－2,0)与B(1,1)时，k＝13.∴13≤k24.[答案](1)C(2)C(3)13，24[学技法——融会贯通]1．判断函数零点个数的方法直接法直接求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理，但利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点练——触类旁通]1．已知函数f(x)＝2x－1，x＞0，－x2－2x，x≤0，若实数m∈(0,1)，则函数g(x)＝f(x)－m零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选D函数g(x)＝f(x)－m的零点即为函数y＝f(x)与函数y＝m的图象的交点．如图画出函数y＝f(x)的图象，结合0＜m＜1可知，函数y＝f(x)与函数y＝m的图象的交点为3个，所以函数g(x)＝f(x)－m的零点有3个，故选D.2．已知函数f(x)＝12x－1，x≤0，2x2－lnx，x0，则f(f(－1))＝________；若函数y＝f(x)－a恰有一个零点，则a的取值范围是________．解析：∵f(－1)＝1，∴f(f(－1))＝f(1)＝2.当x0时，f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，∴当0x12时，f′(x)0，当x12时，f′(x)0，∴f(x)在0，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增，∴当x＝12时，f(x)取得极小值f12＝12－ln12，作出函数f(x)的图象如图所示．∵函数y＝f(x)－a恰有一个零点，∴0≤a12－ln12.答案：20，12－ln123．(2019·台州模拟)若函数f(x)＝x2＋13＋ax＋b在[－1,1]上有零点，则a2－3b的最小值为________．解析：函数f(x)＝x2＋13＋ax＋b在[－1,1]上有零点，可得Δ≥0，即a＋132≥4b，则有a2－3b≥a2－3a＋1324＝14a－12－43≥14×－43＝－13，当且仅当a＝1，b＝49时，取等号，此时f(x)＝x2＋43x＋49在[－1,1]上有零点x＝－23，故所求最小值为－13.答案：－13考点(三)函数模型的应用[考查趋向]主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·诸暨高三期末)《九章算术》中有如下问题“今有卖牛二、羊五，以买十三猪，有余钱一千；卖牛三、猪三，以买九羊，钱适足．”设牛、羊、猪每头价格分别为x，y，z(钱)，则第一句话可以列出的方程是____________________；若告诉你y＝500，依第二句话可以推断出x＋z＝________.(2)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．[解析](1)由第一句话得2x＋5y＝13z＋1000，即2x＋5y－13z＝1000.由第二句话得3x＋3z＝9y，当y＝500时，得x＋z＝1500.(2)前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝0.915，∴P＝P0e－kt＝P00.915t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝0.915t，解得t＝10，即需要花费10小时．[答案](1)2x＋5y－13z＝10001500(2)10[学技法——融会贯通]解决函数实际应用题的2个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的