2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时指数幂及其运算目标定位重点难点1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化.2.掌握有理数指数幂的运算性质.3.了解无理数指数幂的含义及运算性质.重点：根式与分数指数幂的互化.难点：利用指数幂的运算性质进行化简求值.1.分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1).(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1).(3)0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂________.0无意义2.有理数指数幂的运算性质(1)aras＝________(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝________(a0，b0，r∈Q).ar＋sarsar·br1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.()(3)0的任何指数幂都等于0.()【答案】(1)√(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)5a－3化为分数指数幂为________.(2)若10a＝5,10b＝9，则10a－b＝________.【答案】(1)a－35(2)593.思一思：请你根据所学知识思考公式amn＝nam是否适用于a＝0或a0?【解析】均不适用，原因如下：(1)若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即nam＝amn＝0无研究的价值；(2)若a0，amn＝nam不一定成立，如(－2)32＝－23无意义.故为了避免上述情况规定了a0.根式与分数指数幂的互化【例1】用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)3a·4a；(2)aaa；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.【解题探究】解决本题的关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简.【解析】(1)原式＝a13·a14＝a13＋14＝a712.(2)原式＝a12·a14·a18＝a12＋14＋18＝a78.(3)原式＝a23·a32＝a23＋32＝a136.(4)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a23＋12b32＝a76b32.【方法规律】根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：amn＝nam和a－mn＝1amn＝1nam，其中字母a要使式子有意义.(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.1.将下列根式化为分数指数幂的形式：(1)1a1a(a0)；(2)13x·5x22(x0)；(3)ab3ab5(a0，b0).【解析】(1)原式1a1a12＝1a32＝1a34＝a－34.(2)原式＝13x·x252＝13x·x45＝13x95＝1x9513＝1x35＝x－35.(3)原式＝ab3ab51212＝a·a12b3b51212＝a32b11212＝a34b114.利用分数指数幂的性质化简求值【例2】计算：(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93；(2)(0.027)23＋27125－13－2790.5.【解题探究】(1)中33382的底数和根指数如何处理？93中的9如何处理？(2)中对于三个底数如何处理？【解析】(1)原式＝1＋32－2·27823－0.01－12＋932＝1＋32－2·322－10＋27＝1＋1－10＋27＝19.(2)原式＝[(0.3)3]23＋3353－13－25912＝0.32＋135313－53212＝9100＋53－53＝9100.【方法规律】利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序.(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算.(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示.2.计算下列各式的值：(1)0.027－13－－17－2＋27912－2－10；(2)8125－13－－350＋160.75＋0.2512；【解析】(1)原式＝271000－13－17－2＋25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝52－1＋1634＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.条件求值问题【例3】已知a＋a－1＝5，求下列各式的值.(1)a2＋a－2；(2)a12－a－12.【解题探究】解答本题可从总体上寻求各式与条件a＋a－1的联系，进而整体代入求值.【解析】(1)方法一：由a＋a－1＝5两边平方，得a2＋2aa－1＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23.方法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23.(2)∵(a12－a－12)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，∴|a12－a－12|＝3.∴a12－a－12＝±3.【方法规律】1.此类问题一般不宜直接代入求值，应从总体上把握已知式和所求式的特点，常用整体代入法来求值.要求同学们熟练掌握平方差、立方和(差)以及完全平方公式.2.有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.所以在解题时要先审题，比较各种思路的优劣，然后再动手做题，养成良好的思维习惯.3.已知a1，b0，且ab＋a－b＝22，求ab－a－b的值.【解析】因为ab＋a－b＝22，所以a2b＋a－2b＋2＝8，即a2b＋a－2b＝6.所以(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝6－2＝4.因为a＞1，b＜0，所以ab＜a－B．所以ab－a－b＝－2.因忽略幂指数的范围而导致错误【示例】化简(1－a)[(a－1)－2(－a)12]12＝______.【错解】(1－a)[(a－1)－2·(－a)12]12＝(1－a)(a－1)－1·(－a)14＝－(－a)14.【错因】忽略了题中有(－a)12，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[(a－1)－2]12≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件.【正解】由(－a)12知－a≥0，故a－10.∴(1－a)[(a－1)－2(－a)12]12＝(1－a)(1－a)－1·(－a)14＝(－a)14.【警示】在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否为偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中(－a)12，则必须有(－a)≥0，即a≤0.根式与分数指数幂运算应注意的问题1.指数幂的一般运算步骤是，有括号先算括号里的，无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.2.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.3.对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数幂的形式表示.【答案】C【解析】由于2a3，所以2－a0,3－a0.所以原式＝a－2＋3－a＝1.1.若2a3，2－a2＋43－a4的化简结果是()A．5－2aB．2a－5C．1D．－12.(－2a13b－34)·(－a12b－13)6÷(－3a23b－14)等于()A．23a83b－52B．－23a83C．－23a16b－56D．23a16b－52【答案】A【解析】原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a13b－34)·(a3·b－2)÷(a23b－14)＝23a13＋3－23b－34－2－(－14)＝23a83b－52.3．若x＝1＋2b，y＝1＋2－b，则用x表示y等于()A．x＋1x－1B．x＋1xC．x－1x＋1D．xx－1【答案】D【解析】由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋12b＝1＋1x－1＝xx－1.4.化简3aa的结果是________.【答案】a12【解析】3aa＝(aa)13＝(a·a12)13＝(a32)13＝a12.5.计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·64－23；(2)a－ba12＋b12－a＋b－2a12·b12a12－b12【解析】(1)原式＝222＋2·23－22·2－4＝21＝2.(2)原式＝a12＋b12·a12－b12a12＋b12－a12－b122a12－b12＝a12－b12－a12－b12＝0.