2019-2020学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列课件 新

第二章随机变量及其分布2.1.2离散型随机变量的分布列第二章随机变量及其分布考点学习目标核心素养离散型随机变量的分布列能知道取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；会求出简单的离散型随机变量的分布列数学抽象离散型随机变量的分布列的性质能记住离散型随机变量分布列的性质并能用此性质解决相关问题数学抽象、数学运算两点分布与超几何分布能知道两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单地运用数学运算问题导学预习教材P46～P48的内容，并思考下列问题：1．离散型随机变量的分布列的定义是什么？2．离散型随机变量的分布列的性质是什么？3．两点分布和超几何分布的定义是什么？1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝______，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn这个表格称为离散型随机变量X的____________，简称为X的________．pi概率分布列分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质：①_______________________；②i＝1npi＝___．1pi≥0，i＝1，2，…，n■名师点拨离散型随机变量分布列的意义和作用(1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．(2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．2．两点分布X01P1－pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称______________为成功概率.p＝P(X＝1)■名师点拨两点分布的适用范围(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律．(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究．3.超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，即X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．■名师点拨对超几何分布的三点说明(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．()(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．()(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.()(4)超几何分布的模型是放回抽样．()××√×下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是()解析：选C．四个选项均符合“二维表”结构，但C选项中，P(X＝1)＜0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，所以C选项不是随机变量的分布列．设离散型随机变量X的分布列如下X1234P161316p则p的值为()A．12B．16C．13D．14解析：选C．由分布列的性质可知p＝1－16－13－16＝13.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么()A．n＝6B．n＝4C．n＝10D．n＝9解析：选C．由题意知，P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1n＋1n＋1n＝3n＝0.3，故n＝10.从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C02C34C36＋C12C24C36＝45.答案：45一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率．(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列.离散型随机变量的分布列【解】一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C25＝10(种)情况．(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝C13·C1210＝35.即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为35.(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C2210＝110，P(X＝1)＝C13C1210＝35，P(X＝2)＝C2310＝310.故X的分布列为X012P11035310求离散型随机变量的分布列的一般步骤(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义．(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)．(3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．(1)两次掷出的最小点数Y.(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.解：设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．(1)Y的可能取值为1，2，3，4，5，6.当Y＝1时，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)．故P(Y＝1)＝1136，同理P(Y＝2)＝936＝14，P(Y＝3)＝736，P(Y＝4)＝536，P(Y＝5)＝336＝112，P(Y＝6)＝136.所以Y的概率分布列为Y123456P113614736536112136(2)ξ的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5.当ξ＝－5时，出现的点数为(1，6)，P(ξ＝－5)＝136.当ξ＝－4时，出现的点数为(1，5)，(2，6)，P(ξ＝－4)＝236＝118.同理，P(ξ＝－3)＝112，P(ξ＝－2)＝19，P(ξ＝－1)＝536，P(ξ＝0)＝636＝16，P(ξ＝1)＝536，P(ξ＝2)＝19，P(ξ＝3)＝112，P(ξ＝4)＝118，P(ξ＝5)＝136.所以ξ的分布列为ξ－5－4－3－2－1012345P136118112195361653619112118136设随机变量X的分布列P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X≥35)；(3)求P(110＜X＜710)．离散型随机变量的分布列的性质【解】(1)由P(X＝k5)＝ak，k＝1，2，3，4，5可知，k＝15P(X＝k5)＝k＝15ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝115.(2)由(1)可知P(X＝k5)＝k15(k＝1，2，3，4，5)，所以P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45.(3)P(110＜X＜710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[提醒]在利用分布列的性质求参数的值时，注意参数的取值范围．1．设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表X－101P0.51－32qq2则q＝________．解析：由0.5＋1－32q＋q2＝1，解得q＝1或q＝12，当q＝1时，1－32q＜0不成立，所以q＝12.答案：122．设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，若P(ξ＜x)＝112，则x的取值范围是________．解析：依题意知，ξ的分布列为ξ567…16P112112112…112由分布列知，P(ξ＜x)＝P(ξ＝5)＝112.故x∈(5，6]．答案：(5，6]一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．两点分布与超几何分布【解】(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C13C12C11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝620＝310.(2)由题意知X＝0，1，2，3.P(X＝0)＝C33C36＝120，P(X＝1)＝C13C23C36＝920，P(X＝2)＝C23C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C36＝120，所以X的分布列为X0123P1209209201201．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P(η＝1)＝C25C36＝12，所以随机变量η的分布列为η01P12122．[变条件]将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P＝C13×C12×C11×A3363＝16.(2)由题意知X＝0，1，2，3.P(X＝0)＝3363＝18，P(X＝1)＝C13×3×3×363＝38.P(X＝2)＝C23C13×3×363＝38，P(X＝3)＝3363＝18.所以X的分布列为X0123P18383818求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．(2)在超几何分布公式中，P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中，m＝min{M，n}，且0≤n≤N，0≤k≤n，0≤k≤M，0≤n－k≤N－M.(3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名学生中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝C13C33C46＝15，P(X＝2)＝C23C23C46＝35，P(X＝3)＝C13C33C46＝15.所以X的分布列为X123P1535151．已知随机变量X的分布列如表所示(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是()A．P(X＜2)＝0.7B．P(X≥2)＝0.6C．P(X≥3)＝0.3D．P(X≤1)＝0.2解析：选C．易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3.2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同