2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 章末复习提升课（二）课件 新人教A版选修1-

第二章圆锥曲线与方程章末复习提升课圆锥曲线的定义及应用已知双曲线x216－y225＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．【解析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)．因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝12|PF′|，又|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－12|PF′|＝12(|PF|－|PF′|)－|FN|＝12×8－5＝－1.【答案】－1圆锥曲线定义的应用技巧(1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．(2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．(3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”之间的相互转化．已知点A(1，y1)，B(9，y2)是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，y2y10，点F是抛物线的焦点，若|BF|＝5|AF|，则y21＋y2的值为______．解析：由抛物线的定义可知，9＋p2＝51＋p2，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，又因为A，B两点在抛物线上，所以y1＝2，y2＝6，所以y21＋y2＝22＋6＝10.答案：10圆锥曲线的方程与几何性质(1)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A．714B．77C．277D．3714(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A．x24－y24＝1B．x28－y28＝1C．x24－y28＝1D．x28－y24＝1【解析】(1)因为△F1MF2是等边三角形，故M(0，2b)，|MF1|＝|F1F2|，即4b2＋c2＝2c，即4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝c2a2＝47，故e＝277.故选C．(2)由离心率为2可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a，0)，由题意可知kPF＝4－00－（－2a）＝42a＝1，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.故选B．【答案】(1)C(2)B求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是3c2，则这一椭圆的离心率是()A．12B．32C．22D．33解析：选A．由题意得12ab＝3c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝ca＝12.直线与圆锥曲线的位置关系已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为22，离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M0，37满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．【解】(1)|PF1|＋|PF2|＝2a＝22，所以a＝2，e＝ca＝22，所以c＝22×2＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)已知F2(1，0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立直线与椭圆的方程y＝k（x－1），x22＋y2＝1，化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝4k21＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝－2k1＋2k2，所以AB的中点坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－－k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：37＋k1＋2k2＝2k1＋2k2，即23k2－7k＋3＝0，解得k＝3或k＝36.②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．所以斜率k的取值为0，3，36.直线与圆锥曲线位置关系问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：①相交：Δ＞0⇔直线与椭圆相交；Δ＞0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ＞0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ＞0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ＞0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ＜0⇔直线与椭圆相离；Δ＜0⇔直线与双曲线相离；Δ＜0⇔直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA→＋OB→＝(－4，－12)．(1)求直线l的方程和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．解：(1)由y＝kx－2，x2＝－2py，消去y，得x2＋2pkx－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.因为OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以－2pk＝－4，－2pk2－4＝－12，解得p＝1，k＝2，所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)由y＝2x－2，x2＝－2y，消去y，得x2＋4x－4＝0.|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1·x2＝1＋22·（－4）2－4×（－4）＝410.设Pt，－12t2(－2－22t－2＋22)，因为|AB|为定值，当点P到直线l的距离d最大时，△ABP的面积最大，d＝2t＋12t2－222＋（－1）2＝12（t＋2）2－45.因为－2－22t－2＋22，所以当t＝－2时，dmax＝455.所以△ABP面积的最大值为12×410×455＝82.1．若双曲线x2m－y2＝1的实轴长是离心率的2倍，则m＝()A．1＋52B．2C．3D．5解析：选A．由双曲线的方程，可知m0，a＝m，b＝1，则c＝m＋1，所以2m＝2×m＋1m，解得m＝1＋52.故选A．2．点A(2，1)到抛物线x＝ay2的准线的距离为3，则实数a的值为()A．4B．14C．14或－120D．4或－20解析：选C．抛物线x＝ay2可化为y2＝1ax，若a0，则准线方程为x＝－14a，由题设，可得2＋14a＝3，则a＝14；若a0，则准线方程为x＝－14a，由题设，可得2＋14a＝3，解得a＝14(舍去)或a＝－120.综上，实数a的值为14或－120.故选C．3．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为()A．1B．2C．2D．22解析：选D．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则当三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S＝12×2c×b＝bc＝1≤b2＋c22＝a22，所以a2≥2，所以a≥2，所以长轴长2a≥22.故选D．4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A．x28－y210＝1B．x24－y25＝1C．x25－y24＝1D．x24－y23＝1解析：选B．由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24－y25＝k(k0)，即x24k－y25k＝1，因为双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为x24－y25＝1.故选B．5．(2018·高考北京卷)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值；(3)设P(－2，0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q－74，14共线，求k.解：(1)由题意得a2＝b2＋c2，ca＝63，2c＝22.解得a＝3，b＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝x＋m，x23＋y2＝1得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34.|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝2（x2－x1）2＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]＝12－3m22.当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得x21＋3y21＝3，x22＋3y22＝3.直线PA的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)．由y＝y1x1＋2（x＋2），x2＋3y2＝3得[(x1＋2)2＋3y21]x2＋12y21x＋12y21－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)．所以xC＋x1＝－12y21（x1＋2）2＋3y21＝4x21－124x1＋7.所以xC＝4x21－124x1＋7－x1＝－12－7x14x1＋7.所以yC＝y1x1＋2(xC＋2)＝y14x1＋7.设D(xD，yD)．同理得xD＝－12－7x24x2＋7，yD＝y24x2＋7.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝y14x1＋7－14－12－7x14x1＋7＋74－y24x2＋7－14－12－7x24x2＋7＋74＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝y1－y2x1－x2＝1.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放