2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末复习提升课（二）课件 新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程章末复习提升课一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．轨迹问题【解】将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知圆心坐标为B(－2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，所以|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆．所以a＝3，c＝2，b＝a2－c2＝5，所以所求圆心M的轨迹方程为x29＋y25＝1.求曲线方程的常用方法及特点(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．1．已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程为________．解析：设P(x，y)，则Q(x，－1)．因为QP→·QF→＝FP→·FQ→，所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y，所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.答案：x2＝4y2．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足PD→＝2MD→，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．解：法一：由PD→＝2MD→，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，所以曲线C的方程为x24＋y2＝1.法二：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由PD→＝2MD→，得x0＝x，y0＝2y，因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，(*)把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，所以曲线C的方程为x24＋y2＝1.已知双曲线x216－y225＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．圆锥曲线的定义及应用【解析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)．因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝12|PF′|，又|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－12|PF′|＝12(|PF|－|PF′|)－|FN|＝12×8－5＝－1.【答案】－1圆锥曲线定义的应用技巧(1)在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．(2)焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．(3)在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”之间的相互转化．已知点A(1，y1)，B(9，y2)是抛物线y2＝2px(p0)上的两点，y2y10，点F是抛物线的焦点，若|BF|＝5|AF|，则y21＋y2的值为______．解析：由抛物线的定义可知，9＋p2＝51＋p2，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，又因为A，B两点在抛物线上，所以y1＝2，y2＝6，所以y21＋y2＝22＋6＝10.答案：10(1)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A．714B．77C．277D．3714圆锥曲线的方程与几何性质(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A．x24－y24＝1B．x28－y28＝1C．x24－y28＝1D．x28－y24＝1【解析】(1)因为△F1MF2是等边三角形，故M(0，2b)，|MF1|＝|F1F2|，即4b2＋c2＝2c，即4b2＋c2＝4c2，4a2＝7c2，e2＝c2a2＝47，故e＝277.故选C．(2)由离心率为2可知a＝b，c＝2a，所以F(－2a，0)，由题意可知kPF＝4－00－(－2a)＝42a＝1，所以2a＝4，解得a＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.故选B．【答案】(1)C(2)B求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是3c2，则这一椭圆的离心率是()A．12B．32C．22D．33解析：选A．由题意得12ab＝3c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝ca＝12.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为22，离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M0，37满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．直线与圆锥曲线的位置关系【解】(1)|PF1|＋|PF2|＝2a＝22，所以a＝2，e＝ca＝22，所以c＝22×2＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.(2)已知F2(1，0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立直线与椭圆的方程y＝k(x－1)，x22＋y2＝1，化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝4k21＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝－2k1＋2k2，所以AB的中点坐标为2k21＋2k2，－k1＋2k2，①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－－k1＋2k2＝－1kx－2k21＋2k2，因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：37＋k1＋2k2＝2k1＋2k2，即23k2－7k＋3＝0，解得k＝3或k＝36.②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．所以斜率k的取值为0，3，36.直线与圆锥曲线位置关系问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种：①相交：Δ＞0⇔直线与椭圆相交；Δ＞0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ＞0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ＞0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ＞0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．③相离：Δ＜0⇔直线与椭圆相离；Δ＜0⇔直线与双曲线相离；Δ＜0⇔直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等许多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA→＋OB→＝(－4，－12)．(1)求直线l的方程和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．解：(1)由y＝kx－2，x2＝－2py，消去y，得x2＋2pkx－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.因为OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以－2pk＝－4，－2pk2－4＝－12，解得p＝1，k＝2，所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)由y＝2x－2，x2＝－2y，消去y，得x2＋4x－4＝0.|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1·x2＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.设Pt，－12t2(－2－22t－2＋22)，因为|AB|为定值，当点P到直线l的距离d最大时，△ABP的面积最大，d＝2t＋12t2－222＋(－1)2＝12(t＋2)2－45.因为－2－22t－2＋22，所以当t＝－2时，dmax＝455.所以△ABP面积的最大值为12×410×455＝82.1．若双曲线x2m－y2＝1的实轴长是离心率的2倍，则m＝()A．1＋52B．2C．3D．5解析：选A．由双曲线的方程，可知m0，a＝m，b＝1，则c＝m＋1，所以2m＝2×m＋1m，解得m＝1＋52.故选A．2．点A(2，1)到抛物线x＝ay2的准线的距离为3，则实数a的值为()A．4B．14C．14或－120D．4或－20解析：选C．抛物线x＝ay2可化为y2＝1ax，若a0，则准线方程为x＝－14a，由题设，可得2＋14a＝3，则a＝14；若a0，则准线方程为x＝－14a，由题设，可得2＋14a＝3，解得a＝14(舍去)或a＝－120.综上，实数a的值为14或－120.故选C．3．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为()A．1B．2C．2D．22解析：选D．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则当三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S＝12×2c×b＝bc＝1≤b2＋c22＝a22，所以a2≥2，所以a≥2，所以长轴长2a≥22.故选D．4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A．x28－y210＝1B．x24－y25＝1C．x25－y24＝1D．x24－y23＝1解析：选B．由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x24－y25＝k(k0)，即x24k－y25k＝1，因为双曲线与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为x24－y25＝1.故选B．5．(2018·高考北京卷)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值；(3)设P(－2，0)，直线PA与椭圆