2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．函数y＝(3x－4)2的导数是()A．4(3x－2)B．6xC．6x(3x－4)D．6(3x－4)解析∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．解析答案D答案2．若函数f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0B．－1C．1D．2解析∵f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.解析答案B答案3．函数y＝f(2ex)，则导数y′＝()A．2f′(2ex)B．2exf′(x)C．2exf′(ex)D．2exf′(2ex)解析∵y＝f(2ex)，∴y′＝(2ex)′·f′(2ex)＝2exf′(2ex)．故选D．解析答案D答案4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1解析由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C．解析答案C答案5．要得到函数f(x)＝sin2x＋π3的导函数f′(x)的图象，只需将f(x)的图象()A．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)D．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)答案D答案解析∵f(x)＝sin2x＋π3，∴f′(x)＝2cos2x＋π3＝2sin2x＋π3＋π2＝2sin2x＋π4＋π3，∴由f(x)得f′(x)只需向左平移π4个单位，再把各点纵坐标伸长到原来的2倍．解析6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)，所以x0＋1＝ln(x0＋a)①，对y＝ln(x＋a)求导得y′＝1x＋a，则1x0＋a＝1，则x0＋a＝1②，②代入①可得x0＝－1，所以a＝2.解析答案B答案二、填空题7．已知函数f(x)＝x2·f′(2)＋5x，则f′(2)＝________.解析∵f(x)＝x2·f′(2)＋5x，∴f′(x)＝2f′(2)·x＋5，∴f′(2)＝2f′(2)×2＋5，∴3f′(2)＝－5，∴f′(2)＝－53.解析答案－53答案8．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．解析设x0，则－x0，因为x≤0时f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝ex－1＋x，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.解析答案2x－y＝0答案9．函数y＝sin2x的图象在点Aπ6，14处的切线的斜率是________．解析∵y′＝(sin2x)′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x，∴曲线在点Aπ6，14处的切线的斜率为32.解析答案32答案三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝(x＋1)1x－1；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝3lnx＋ax(a0，且a≠1)．解(1)∵y＝xx2＋1x＋1x3＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)∵y＝(x＋1)1x－1＝x·1x－x＋1x－1＝－x＋1x，∴y′＝－x＋1x′＝－12x＋－12xx＝－12x1＋1x.答案(3)y′＝x－sinx2cosx2′＝x－12sinx′＝1－12cosx.(4)y′＝(3lnx＋ax)′＝3x＋axlna(a0，且a≠1)．答案B级：能力提升练11．求函数y＝11＋3x4在x＝2处的导数．解函数y＝11＋3x4＝(1＋3x)－4可以看作函数y＝t－4和函数t＝1＋3x的复合函数，根据复合函数求导法则可得y′x＝y′t·t′x＝(t－4)′·(1＋3x)′＝－4t－5×3＝－12(1＋3x)－5.函数y＝11＋3x4在x＝2处的导数为y′|x＝2＝－12×(1＋3×2)－5＝－1275.答案12．求满足下列条件的函数f(x)：(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.解(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋C．由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0，由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组3a＋2b＝－3，12a＋4b＝0，解得a＝1，b＝－3，所以f(x)＝x3－3x2＋3.答案(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，则f(x)、f′(x)代入方程，得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对任意x都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1.解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.答案