2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函

课后课时精练一、选择题1．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是()A．若函数在x＝x0时取得极值，则f′(x0)＝0B．若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处取得极值C．若在定义域内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数D．函数f(x)在x＝x0处的导数是一个常数答案B答案解析若“函数f(x)在x0处取得极值”，根据极值的定义可知“f′(x0)＝0”成立．反之“f′(x0)＝0”还应满足f′(x)在x0的左右附近改变符号，“函数f(x)在x＝x0处取得极值”才能成立，∴B不正确．解析2．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2x2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当－2x－1时，f′(x)0；当－1x2时，f′(x)0，∴当x＝－1时，f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．解析答案C答案3．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案D答案解析∵f(x)＝2x＋lnx，x0，∴f′(x)＝－2x2＋1x，令f′(x)＝0，即－2x2＋1x＝x－2x2＝0，解得x＝2.当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0，所以x＝2为f(x)的极小值点．解析4．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A．4B．6C．7D．8解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)0得x1或x2，由f′(x)0得1x2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4，所以选A．解析答案A答案5．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，即12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6.由题意知a，b都是正实数，所以ab≤a＋b22＝622＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．解析答案D答案6．已知函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx＋c(a，b，c∈R)，且函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值，在区间(1,2)内取得极小值，则z＝(a＋3)2＋b2的取值范围为()A．22，2B．12，4C．(1,2)D．(1,4)答案B答案解析f′(x)＝x2＋ax＋2b，由f(x)在(0,1)内取极大值，在(1,2)内取得极小值知f′00，f′10，f′20，即b0，a＋2b＋10，a＋b＋20.画出不等式组所表示的平面区域如图．解析则A(－3,1)，B(－2,0)，C(－1,0)，又a＋32＋b2表示(－3,0)与阴影部分内点(a，b)之间的距离，∴z的取值范围是22，2，∴z的取值范围是12，4，故选B．解析二、填空题7．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.解析由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则a2＋3a－b－1＝0，b－6a＋3＝0，解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9，经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.解析答案－7答案8．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．解析因为f′(x)＝3x2－3a2(a0)，所以f′(x)0时得xa或x－a，f′(x)0时，得－axA．所以当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．由题意得a3－3a3＋a0，－a3＋3a3＋a0，a0，解得a22.解析答案22，＋∞答案9．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间－3，－12内单调递增；②函数y＝f(x)在区间－12，3内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－12时，函数y＝f(x)有极大值．其中正确的结论为________．答案③答案解析由导函数的图象知：当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(－2,2)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(2,4)时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递增；在x＝－2时，f(x)取极小值；在x＝2时，f(x)取极大值；在x＝4时，f(x)取极小值．所以只有③正确．解析三、解答题10．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求实数a，b的值；(2)求函数y的极小值．解(1)y′＝3ax2＋2bx.由题意，知f1＝3，f′1＝0，即a＋b＝3，3a＋2b＝0，解得a＝－6，b＝9.答案(2)由(1)，知y＝－6x3＋9x2.所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.所以当x0时，y′0；当0x1时，y′0；当x1时，y′0.所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.答案B级：能力提升练11．已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．解f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．令f′(x)＝0，所以x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0.*答案(1)当Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a0，即a0或a4时，设*有两个不同的根x1，x2，不妨设x1x2，所以f′(x)＝ex(x－x1)(x－x2)．即f(x)有两个极值点．答案(2)当Δ＝0，即a＝0或a＝4时，设*有两个相等实根x1，所以f′(x)＝ex(x－x1)2≥0，所以f(x)无极值．(3)当Δ0，即0a4时，x2＋(a＋2)x＋2a＋10，所以f′(x)0.故f(x)也无极值．综上所述，当a0或a4时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时f(x)无极值点．答案12．已知函数f(x)＝13x3＋12(a－1)x2＋ax(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．解f′(x)＝x2＋(a－1)x＋A．(1)因为f(x)在x＝2处取得极值，所以f′(2)＝0，所以4＋2(a－1)＋a＝0，所以a＝－23，所以f′(x)＝x2－53x－23＝x＋13(x－2)．令f′(x)0，则x＋13(x－2)0，所以x2或x－13，所以函数f(x)的单调递增区间为－∞，－13，(2，＋∞)．答案(2)因为f(x)在(0,1)内有极大值和极小值，所以f′(x)＝0在(0,1)内有两不等实根，对称轴x＝－a－12，所以Δ0，0－a－121，f′00，f′10，即Δ＝a－12－4a0，－1a1，a0，1＋a－1＋a0，所以0a3－22.答案