2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人

1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P32～P35的内容，回答下列问题．(1)完成教材P32“探究”中表格的内容，你发现表格中，各行的数字有什么关系？提示：每一行中的系数具有对称性．(2)将上述表格中的数字整理成如下形式①第一、二、三、四、五、六行的数字之和各是多少？由此你能猜出第n行的数字之和吗？提示：第一、二、三、四、五、六行的数字之和分别是21,22,23,24,25,26，故第n行的数字之和应为2n.②观察第2行的数字2与第1行的各个数字之间有什么关系？第3行的数字3与第2行的数字之间有什么关系？第4行的数字4,6与第3行的数字之间有什么关系？第5行的数字5,10与第4行的数字之间有什么关系？第6行的数字6,15,20与第5行的数字之间有什么关系？由此你能得出什么结论？②观察第2行的数字2与第1行的各个数字之间有什么关系？第3行的数字3与第2行的数字之间有什么关系？第4行的数字4,6与第3行的数字之间有什么关系？第5行的数字5,10与第4行的数字之间有什么关系？第6行的数字6,15,20与第5行的数字之间有什么关系？由此你能得出什么结论？提示：2＝1＋1,3＝1＋2,4＝1＋3,6＝3＋3,5＝1＋4,10＝4＋6,6＝1＋5,15＝5＋10,20＝10＋10，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．③试写出第n－1行、第n行的数字，并探讨Crn＋1与Cr－1n、Crn之间有什么关系？提示：第n－1行1C1n－1C2n－1…Cr－1n－1…Cn－2n－11第n行1C1nC2nC3n…Cn－2nCn－1n1且Crn＋1＝Cr－1n＋Crn.二、归纳总结·核心必记1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数；(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即Crn＋1＝.2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“”的两个二项式系数相等．相等和Cr－1n＋Crn等距离(2)增减性与最大值：当k＜n＋12时，二项式系数是逐渐的．由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．增大减小(3)各二项式系数的和①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝.②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.2n2n－1三、综合迁移·深化思维(1)(1＋2x)2020的展开式中，二项式系数的最大项是第几项？最大值是多少？(1＋x)2020的展开式中，二项式系数的最大值是多少？提示：在(1＋2x)2020和(1＋x)2020的二项展开式中，都含有2021项，中间一项的二项式系数最大，即第1010项的二项式系数C10102020最大．(2)若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n＝8.(3)(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的取值有关系吗？提示：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的值无关，其和为C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.探究点一求二项展开式中系数或二项式系数的最大项[典例精析](1)(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为()A．第5项B．第6项或第7项C．第6项D．第7项(2)x－1x10的展开式中，系数最大的项为()A．第6项B．第3项C．第3项和第6项D．第5项和第7项(3)(1－x)13的展开式中系数最小的项为()A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项[解](1)T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n×25＝C6n×26⇒n＝8.所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1120x4.故选A.(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝C510x5－1x5＝－C510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝C410x6－1x4＝C410x2，T7＝C610x4－1x6＝C610x－2，且C410＝C610.所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D.(3)展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.答案：(1)A(2)D(3)C[类题通法](1)根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项，第r＋2项)的系数均不大于第r＋1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据r∈N*来确定r的值，即可求出最大项．[针对训练]1．(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是()A．第n－1项B．第n项C．第n－1项与第n＋1项D．第n项与第n＋1项2．x＋13x2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为()A．120B．252C．210D．45解析：选D由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n－1－122n－1＝Cn－12n－1，C2n－1＋122n－1＝Cn2n－1，分别为第n，n＋1项．解析：选C由题意，Cn2n＝C52n，易知n＝5，由Tr＋1＝Cr10(x)10－r13xr＝Cr10x30－5r6，令30－5r＝0，得r＝6，故其常数项为C610＝210.探究点二展开式的系数和[典例精析]若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[解](1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②2得：a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8256.(3)由①＋②2得：a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8128.(4)法一：∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8256－(－8128)＝16384.法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16384.[类题通法]二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n,(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.[针对训练]3．在(1－3x)12的展开式中．求：(1)各二项式系数之和；(2)奇数项二项式系数和；(3)偶数项二项式系数和．解：(1)各二项式系数和为C012＋C112＋C212＋…＋C1212＝212＝4096.(2)奇数项二项式系数和为C012＋C212＋C412＋…＋C1212＝211＝2048.(3)偶数项二项式系数和为C112＋C312＋C512＋…＋C1112＝211＝2048.探究点三二项式系数性质的应用[典例精析]已知二项式12＋2xn.(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．[思路点拨](1)展开式中二项式系数最大的项应是中间项，并要根据n的奇偶性来确定是中间两项还是一项．(2)系数最大的系数，应满足不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，即设第r＋1项的系数为Ar＋1，则满足不等式组Ar＋1≥Ar，Ar＋1≥Ar＋2，由不等式组解出r的值．[解](1)由题意，得C4n＋C6n＝2C5n，∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C37×124×23＝352，T5的系数为C47×123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，∴T8的系数为C714×127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432.(2)由题意知C0n＋C1n＋C2n＝79，解得n＝12或n＝－13(舍去)．设展开式中第r＋1项的系数最大，由于12＋2x12＝1212·(1＋4x)12，则Cr12·4r≥Cr－112·4r－1，Cr12·4r≥Cr＋112·4r＋1，∴9.4≤r≤10.4.又r∈{0,1,2，…，12}，∴r＝10，∴系数最大的项为T11，且T11＝1212·C1012·(4x)10＝16896x10.[类题通法]求展开式中系数的最值的方法：(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)若展开式的系数为f(r)＝Crn·mg(r)的形式，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用Ar＋1≥Ar＋2，Ar＋1≥Ar解出r，即得系数最大项．(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定．[针对训练]4．已知x＋2x2n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项．解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，∴n＝10.∴Tr＋1＝Cr10x10－r22rx－2r＝Cr102rx10－5r2，当r＝0,2,4,6,8,10时，10－5r2∈Z，∴展开式中所有有理项的项数为6.(2)设第Tr＋1项的系数最大，则Cr102r≥Cr－1102r－1，Cr102r≥Cr＋1102r＋1，即2r≥111－r，110－r≥2r＋1.解得193≤r≤223.∵r∈N，∴r＝7.∴展开式中系数最大的项为T8＝C71027x252＝15360x252.1．本节课的重点是二项式系数的性质及展开式的系数和问题，难点是二项式系数性质的应用．2．要掌握二项式系数性质的三个应用：(1)求二项展开式中系数或二项式系数的最大项，见讲1；(2)求展开式的系数和，见讲2；(3)二项式系数性质的应用，见讲3；[课堂归纳领悟]3．要重点关注以下几个易错点．(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)一般地，二项展开式f(x)中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为12[f(1)＋f(－1)]，偶数项系数和为12[f(1)－f(－1)]．(3)“赋值法”是求二项展开式