2019-2020学年高中数学 第一章 数列 3.1 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式课

第一章数列§3等比数列3．1等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的(通常用字母q(q≠0)表示)．(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成，那么称G为a与b的等比中项．第2项同一个常数公比等比数列2．等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝．a1qn－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1，－1，1，－1，…是等比数列．()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．()(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．()(4)常数列一定为等比数列．()(5)任何两个数都有等比中项．()√××××下面各数列成等比数列的是()①－1，－2，－4，－8，…；②1，－3，3，－33，…；③x，x，x，x，…；④1a，1a2，1a3，1a4，….A．①②③B．①②C．①②④D．①②③④解析：选C.由等比数列的定义可知，对于③中的x，若x＝0，则不是等比数列．已知－1，x，－4成等比数列，则x的值为()A．2B．－52C．2或－2D．－2或2答案：C已知{an}是一个等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝()A.22B．±22C.2D．±2答案：D等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为________．答案：an＝2×5n－11．等比数列概念的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有任意性的，但须注意是从“第2项”起．(2)从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”．(3)对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q不为零．(4)各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列．2．对等比中项的认识(1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G＝±ab，即等比中项有两个，且互为相反数．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(3)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比数列.等比数列的判定与证明已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值；(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．【解】(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．等比数列的三种判定方法(1)定义法：an＋1an＝q(q为常数且q≠0)或anan－1＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．1.(1)若a，b，c，d成等比数列，则下列三组数：①a＋b，b＋c，c＋d；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－d，必成等比数列的个数为()A．3B．2C．1D．0(2)在数列{an}中，若an0，且an＋1＝2an＋3(n∈N＋)．求证：数列{an＋3}是等比数列．解：(1)选C.当公比q不为1和－1时，①②③都是等比数列；当q＝1时，③不是等比数列；当q＝－1时，①不是等比数列．因此只有②必成等比数列，故选C.(2)证明：法一：因为an0，所以an＋30.又因为an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3an＋3＝2an＋3＋3an＋3＝2（an＋3）an＋3＝2.所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．法二：因为an0，所以an＋30.又因为an＋1＝2an＋3，所以an＋2＝4an＋9.所以(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，所以数列{an＋3}是等比数列．等比数列的通项公式在等比数列{an}中，(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.【解】(1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n－1.(2)a1＝anqn－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)因为a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，①a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，②由②①，得q＝12，从而a1＝32.又an＝1，所以32×12n－1＝1，即26－n＝20，故n＝6.等比数列通项公式的应用(1)由a1和q可求等比数列的任意一项．(2)已知a1，q，an，n中的三个量，可求另外一个量．(3)验证某数是否为等比数列的项．2.已知{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．求数列{an}的通项公式．解：法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，所以q＝12.故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝qn－7＝12n－7.法二：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，知a4，a5＋a7，a6成等差数列，所以q＝a7a6＝a6a5＝a5a4＝a7＋a5a6＋a4＝12，于是an＝a1qn－1＝a7qn－7＝qn－7＝12n－7.等比中项及其应用已知a，－32，b，－24332，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值．【解】由题意知b2＝－32×－24332＝326，所以b＝±278.当b＝278时，ab＝－322，解得a＝23；bc＝－243322＝－3210，解得c＝327.同理，当b＝－278时，a＝－23，c＝－327.综上所述，a，b，c的值分别为23，278，327或－23，－278，－327.应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a2n＝an－1an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．3.(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是1a与1b的等差中项，则a＋ba2＋b2的值是()A．1或12B．1或－12C．1或13D．1或－13(2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________．解析：(1)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，1a＋1b＝2，所以ab＝1，a＋b＝2或ab＝－1，a＋b＝－2.因此a＋ba2＋b2的值为1或－13.(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝a2a1＝64＝32，所以an＝4×32n－1.答案：(1)D(2)4×32n－1易错警示对题目中所给条件理解不透彻致误已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．【解析】设数列{an}的公比为q，因为a25＝a10，所以(a1q4)2＝a1q9.所以a1＝q.所以an＝qn.因为2(an＋an＋2)＝5an＋1，所以2an(1＋q2)＝5anq.所以2(1＋q2)＝5q，解得q＝2或12(舍去)．所以an＝2n.【答案】2n(1)本题易错点有两处：①不会将已知条件a25＝a10及2(an＋an＋2)＝5an＋1转化为关于q的方程；②忽视“{an}为递增数列”这一条件导致得出两个通项公式．(2)本题是方程思想的应用，根据已知条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组求出基本量，在解题中要准确使用公式，注意运算的合理性和准确性．1．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则ab的值为()A．±12B．12C．1D．±1解析：选D.由1，a，3成等差数列，得2a＝4，即a＝2；由1，b，4成等比数列，得b2＝4，即b＝±2，则ab＝±1，故选D.2．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于()A．31.5B．160C．79.5D．159.5解析：选C.1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，所以1＋2a6＝5·25.所以a6＝5×32－12＝79.5.3．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________．解析：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝a·c＝(5＋26)·(5－26)＝1.又b0，所以b＝1.答案：14．数列{an}中，an＝3n2，求证：数列{an}为等比数列．证明：因为an＋1an＝3n＋123n2＝3n＋13n＝3，所以{an}为等比数列．