2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.1.5 向量的线性运算 课时29 向

课时29向量的线性运算知识对点练知识点一向量的加法与数乘向量的混合运算1.化简：(1)212a＋3b＝________；(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；(3)λ＋13μ(a＋b)＋12λ＋μ(a＋b)＝________________.答案(1)a＋6b(2)5a＋5b(3)32λ＋43μ(a＋b)答案解析(1)原式＝2×12a＋2×3b＝a＋6b.(2)原式＝2a＋2b＋3a＋3b＝5a＋5b.(3)原式＝λ(a＋b)＋13μ(a＋b)＋12λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝λ＋12λ(a＋b)＋13μ＋μ(a＋b)＝32λa＋b＋43μ(a＋b)＝32λ＋43μ(a＋b)．解析知识点二向量的线性运算2.化简下列各式：(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)＝________；(2)234a－3b＋13a－142a－3b＝________.答案(1)－a－b(2)239a－32b答案解析(1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b.(2)原式＝234a－3b＋13a－12a＋34b＝234＋13－12a＋－3＋34b＝23236a－94b＝239a－32b.解析3．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知3x＋4y＝a，2x－3y＝b，其中a，b为已知向量，求x，y.解(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.∴x＝2b－12a.答案(2)3x＋4y＝a，①2x－3y＝b，②由②得y＝23x－13b，代入①，得3x＋423x－13b＝a，∴3x＋83x－43b＝a，∴x＝317a＋417b.答案∴y＝23317a＋417b－13b＝217a＋851b－13b＝217a－317b.综上可得x＝317a＋417b，y＝217a－317b.答案知识点三向量的线性运算的应用4.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→＝()A．BC→＋12BA→B．－BC→＋12BA→C．－BC→－12BA→D．BC→－12BA→答案B答案解析解法一：∵D是AB的中点，∴BD→＝12BA→，∴CD→＝CB→＋BD→＝－BC→＋12BA→.解法二：CD→＝12(CB→＋CA→)＝12[CB→＋(CB→＋BA→)]＝CB→＋12BA→＝－BC→＋12BA→.解析5．已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线答案B答案解析∵BD→＝BC→＋CD→＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB→，∴AB→与BD→平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．解析6．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列命题：①AD→＝－12a－b；②BE→＝a＋12b；③CF→＝－12a＋12b；④AD→＋BE→＋CF→＝0.其中正确命题的序号为________．答案①②③④答案解析如图，AD→＝AC→＋CD→＝－b＋12CB→＝－b－12a.BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b.CF→＝CA→＋12AB→解析＝CA→＋12(AC→＋CB→)＝b＋12(－b－a)＝12b－12a.AD→＋BE→＋CF→＝－b－12a＋a＋12b＋12b－12a＝0.解析7．设x，y是未知向量．(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；(2)解方程组12x－y＝a，x－12y＝b.解(1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b，∴x＝－58a＋38b.(2)12x－y＝a，①x－12y＝b.②－2×①＋②，得32y＝－2a＋b，答案∴y＝－43a＋23b.代入②，得x＝－23a＋43b.∴x＝－23a＋43b，y＝－43a＋23b.答案8．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且CDDA＝AEEB＝12，设BC→＝a，CA→＝b.求证：DE→＝13(b－a)．证明∵CDDA＝AEEB＝12，∴DA→＝23CA→＝23b，AE→＝13AB→＝13(AC→＋CB→)＝13(－b－a)＝－13b－13a.∴DE→＝DA→＋AE→＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a).答案易错点用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误9.在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝AB→，b＝AC→，用向量a，b表示AD→＝________.易错分析本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有BD→＝13BC→或BD→＝23BC→.解题时条件转化要全面准确．答案13a＋23b或23a＋13b正解因为D为BC的三等分点，当BD＝13BC时，如图1，BD→＝13BC→，答案所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.答案当BD＝23BC时，如图2，BD→＝23BC→，所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→＝13a＋23b.答案课时综合练一、选择题1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝()A．7a＋4bB．14a＋4bC．7a＋14bD．14a＋7b解析原式＝6a＋3b＋8a＋4b＝14a＋7b.故选D.解析答案D答案2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为()A．3B．－3C．0D．2解析∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3.∴x－y＝3.解析答案A答案3．平面上有一个△ABC和一点O，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量DE→等于()A.12(a＋b＋c)B.12(－a＋b＋c)C.12(a－b＋c)D.12(a＋b－c)答案B答案解析DE→＝OE→－OD→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝12(－a＋b＋c)．解析4．设D为△ABC所在平面内一点，BD→＝13BC→，则AD→等于()A.13AB→＋23AC→B.23AB→＋13AC→C.13AB→－23AC→D.23AB→－13AC→答案B答案解析∵BD→＝13BC→，∴AD→－AB→＝13(AC→－AB→),∴AD→＝23AB→＋13AC→.故选B.解析5．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.答案C答案解析找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－12b；B项中a＝4b；D项中a＝－32b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.解析二、填空题6．已知向量a，b不共线，实数x，y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.解析因为a与b不共线，则5x＝3y＋27，8－y＝4x，解得x＝3，y＝－4.解析答案3－4答案7．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA→＋PC→＝0,2QA→＋QB→＋QC→＝BC→，若|PQ→|＝λ|BC→|，则正实数λ＝________.答案12答案解析∵PA→＋PC→＝0，∴点P是线段AC的中点，∵2QA→＋QB→＋QC→＝BC→，∴2QA→＝BC→－QC→－QB→＝QC→－QB→－QC→－QB→＝2BQ→，∴点Q是线段AB的中点，∵|PQ→|＝λ|BC→|，∴λ＝12.解析8．设O是△ABC内部一点，且OA→＋OC→＝－3OB→，则△AOB与△AOC的面积之比为________．答案1∶3答案解析如图，由平行四边形法则，知OA→＋OC→＝OD→，其中E为AC的中点．所以OA→＋OC→＝2OE→＝－3OB→.解析所以OB→＝－23OE→，|OB→|＝23|OE→|.设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝12|OB→|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|OE→|·h.所以S△AOBS△AOC＝12|OB→|·h|OE→|·h＝12|OB→||OE→|＝12×23＝13.解析三、解答题9．计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)123a＋2b－23a－b－7612a＋37b＋76a；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝123a－23a＋2b－b－7612a＋12a＋37b＝1273a＋b－76a＋37b＝76a＋12b－76a－12b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.答案10.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试用a，b表示DC→，BC→，MN→.解由已知得DC→＝12AB→＝12b.如图，取AB的中点E，连接DE，则四边形DEBC为平行四边形．答案所以BC→＝ED→＝EA→＋AD→＝a－12b.∵MN＝12(AB＋DC)，MN∥AB，∴MN→＝12(AB→＋DC→)＝12b＋12b＝34b.答案11．已知两个非零向量e1，e2不共线，若AB→＝2e1＋3e2，BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．证明∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6AB→.∴AD→∥AB→.又∵AD和AB有公共点A，∴A，B，D三点共线．答案12．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线．证明设AB→＝a，AD→＝b，∵MN→＝MB→＋BN→＝12AB→＋13BD→＝12a＋13(AD→－AB→)＝12a＋13(b－a)＝16a＋13b，MC→＝MB→＋BC→＝12a＋b，答案∴MN→＝13MC→，∴MN→∥MC→，又MN与MC有公共点M，故M，N，C三点共线．答案本课结束