2019新教材高中数学 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用 课时作业60 三角函数的应用课件

课时作业60三角函数的应用课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练知识对点练知识对点练课时综合练知识点一建立三角函数模型的应用题1．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()知识对点练课时综合练答案C答案知识对点练课时综合练解析通过分析可知当t＝0时，点P到x轴的距离d为2，于是可以排除A，D，再根据当t＝π4时，可知点P在x轴上，此时点P到x轴的距离d为0，排除B，故选C.解析知识对点练课时综合练2．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈[0,24]．答案y＝－6sinπ6x答案知识对点练课时综合练解析将其看成函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知，A＝6，T＝12，∴ω＝2πT＝π6.将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为y＝6sinπ6x－π＝－6sinπ6x.解析知识对点练课时综合练知识点二三角函数在物理学中的应用3.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)A0，ω0，|φ|π2.(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个1100s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识对点练课时综合练解(1)由图可知，A＝300.设t0＝－1300，t1＝160.∵T＝t1－t0＝160－－1300＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I＝300sin(100πt＋φ)．答案知识对点练课时综合练将－1300，0代入解析式，得－π3＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝π3＋2kπ，k∈Z.∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴I＝300sin100πt＋π3.(2)由题意知，2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.答案知识对点练课时综合练4．弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：h＝3sin2t＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；(3)经过多长时间小球往返振动一次？(4)每秒钟内小球能往返振动多少次？知识对点练课时综合练解(1)令t＝0，得h＝3sinπ4＝322，所以小球开始振动的位置为离开平衡位置向上322cm处．(2)由题意知，t∈[0，π]，当h＝3时，t＝π8，即最高点为π8，3；当h＝－3时，t＝5π8，即最低点为5π8，－3.(3)T＝2π2＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次．(4)f＝1T≈0.318，即每秒内小球往返振动约0.318次.答案知识对点练课时综合练知识点三三角函数在实际中的应用5．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：知识对点练课时综合练(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解(1)由已知可设y＝40.5－40cosωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y＝40.5－40cosπ6t(t≥0)．(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．由60.5＝40.5－40cosπ6t0，得cosπ6t0＝－12，所以π6t0＝2π3或π6t0＝4π3，解得t0＝4或t0＝8，所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．答案知识对点练课时综合练6．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．知识对点练课时综合练解(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A0，ω0)，则－A＋b＝700，A＋b＝900，解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT＝π6，所以y＝100sinπ6t＋φ＋800.又当t＝6时，y＝900，答案知识对点练课时综合练所以900＝100sinπ6×6＋φ＋800，所以sin(π＋φ)＝1，所以sinφ＝－1，所以取φ＝－π2.所以y＝100sinπ6t－π2＋800.(2)当t＝2时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课时综合练知识对点练课时综合练一、选择题1．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝cosxxC．f(x)＝xcosxD．f(x)＝x·x－π2·x－3π2答案C答案知识对点练课时综合练解析由题图象可知f(x)是奇函数，可排除D，又fπ2＝0，可排除A，f(0)＝0，可排除B，故选C.答案知识对点练课时综合练2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asinωt＋π6(A0，ω≠0)的图象如图所示，则当t＝150秒时，电流强度是()A．－5安B．5安C．53安D．10安答案B答案知识对点练课时综合练解析由图象可知A＝10，T＝2×4300－1300＝150，∴2πω＝150，∴ω＝100π.∴I＝10sin100πt＋π6.当t＝150秒时，I＝10sin100π×150＋π6＝5(安)．解析知识对点练课时综合练3．如图所示，有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算气球的高BC的值约为()A．70mB．86mC．102mD．118m答案B答案知识对点练课时综合练解析AC＝CDsinβ＝3sinπ180≈3π×180≈172(m)，又∠BAC＝30°，∴BC＝12AC＝86m.解析知识对点练课时综合练4．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()知识对点练课时综合练答案C答案知识对点练课时综合练解析设所对的圆心角为α，则α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sinα2，即有d＝f(l)＝2sinl2.解析知识对点练课时综合练5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是12，32，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12]答案D答案知识对点练课时综合练解析设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时，α＝π3，每秒钟旋转π6，在t∈[0,1]上，α∈π3，π2，在[7,12]上α∈3π2，7π3，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的，故选D.解析知识对点练课时综合练二、填空题6．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.答案8答案知识对点练课时综合练解析由题图可知－3＋k＝2，得k＝5，∴y＝3sinπ6x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8.解析知识对点练课时综合练7．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52sin100πt－π2，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动________次．解析据I＝52sin100πt－π2知ω＝100πrad/s，该电流的周期为T＝2πω＝2π100π＝0.02s，则这种交流电电流在0.5s内往复运行次数为n＝tT＝0.50.02s＝25(次)．解析答案25答案知识对点练课时综合练8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．答案10sinπt60答案知识对点练课时综合练解析将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝π60，所以d＝10sinπt60.解析知识对点练课时综合练三、解答题9．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b0φπ2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．知识对点练课时综合练解(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，∴A＝12×(50－30)＝10，b＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，答案知识对点练课时综合练∴ω＝π6.∴y＝10sinπ6x＋φ＋40.将x＝8，y＝30代入上式，又∵0φπ2，∴解得φ＝π6.∴所求解析式为y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8,14]．答案知识对点练课时综合练10．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．知识对点练课时综合练(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0,0|φ|π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.答案知识对点练课时综合练根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且－A＋B＝100，A＋B＝500，解得A＝200，B＝300.根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，故sin2×π6＋φ＝－1，且sin8×π6＋φ＝1.又因为0|φ|π，故φ＝－5π6.答案知识对点练课时综合练所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)＝200sinπ6x－