2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版

第2讲等差数列及其前n项和第六章数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的差都等于_____________，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__________________(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是___________，其中A叫做a，b的___________．第2项同一个常数an＋1－an＝dA＝a＋b2等差中项2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝____________．(2)前n项和公式：Sn＝__________________＝______________．3．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)通项公式的推广：an＝am＋_________(n，m∈N*)．(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________．(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为________．(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．a1＋(n－1)dna1＋n（n－1）2d（a1＋an）n2(n－m)dak＋al＝am＋an2d4．等差数列的增减性与最值公差d0时为递_________数列，且当a10时，前n项和Sn有最_________值；公差d0时为递_________数列，且当a10时，前n项和Sn有最_______值．5．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函数y＝px＋q的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点．增小减大判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)×(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，所以a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，所以d＝4，故选C.(教材习题改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11解析：选A.法一：因为a1＋a5＝2a3，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，所以S5＝5（a1＋a5）2＝5a3＝5，故选A.法二：因为a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，所以a1＋2d＝1，所以S5＝5a1＋5×42d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.(教材习题改编)在等差数列11，8，5，…中，－49是它的第________项．解析：a1＝11，d＝8－11＝－3，所以an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.由－3n＋14＝－49，得n＝21.答案：21已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.答案：27等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：(1)求公差d、项数n或首项a1；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和．等差数列的基本运算(高频考点)[典例引领]角度一求公差d、项数n或首项a1(2019·洛阳市第一次统一考试)等差数列{an}为递增数列，若a21＋a210＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于()A．1B．2C．9D．10【解析】依题意得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，所以a1a10＝10，又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1a10，所以a1＝1，a10＝10，d＝a10－a110－1＝1.【答案】A角度二求通项或特定项(方程思想)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a5＝27a23，S7＝63.求数列{an}的通项公式．【解】法一：设正项等差数列{an}的公差为d，则由题意得a1＋a1＋4d＝27（a1＋2d）2，7a1＋21d＝63，即a1＋2d＝17（a1＋2d）2，a1＋3d＝9，又因为an＞0，所以a3＝a1＋2d＞0，所以a1＋2d＝7，a1＋3d＝9，所以a1＝3，d＝2，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1(n∈N*)．法二：设正项等差数列{an}的公差为d.因为{an}是等差数列，且a1＋a5＝27a23，所以2a3＝27a23，又an＞0，所以a3＝7.因为S7＝7（a1＋a7）2＝7a4＝63，所以a4＝9.所以d＝a4－a3＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1(n∈N*)．角度三求前n项和设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．【解析】法一：设等差数列{an}的公差为d，由已知，得a12＝a1＋11d＝－8，S9＝9a1＋9×8d2＝－9，解得a1＝3，d＝－1.所以S16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.法二：由S9＝9a5＝－9，所以a5＝－1，S16＝16（a1＋a16）2＝8(a5＋a12)＝－72.【答案】－72等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可知三求二．解决这类问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn＝n（a1＋an）2结合使用，体现整体代入的思想．[通关练习]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，则d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6项的和S6＝1－92×6＝－24.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：选B.设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋3×22d)＝2a1＋d＋4a1＋4×32d，解得d＝－32a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.3．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，Sk＝－35，则k＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由于a1＝1，a3＝－3，又a3＝a1＋2d，所以d＝－2，因此an＝3－2n.得Sn＝1＋（3－2n）2n＝2n－n2，所以Sk＝2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5，又因为k∈N*，所以k＝7.答案：7[典例引领](2019·贵州省适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．等差数列的判定与证明【解】(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得nan＋1－（n＋1）ann（n＋1）＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项a11＝1，公差d＝2的等差数列．则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.判定数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.[提醒]判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．[通关练习]1．(2019·云南省11校跨区调研)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3anan＋3，则a4＝()A.34B．1C.43D.32解析：选A.依题意得1an＋1＝an＋33an＝1an＋13，1an＋1－1an＝13，数列1an是以1a1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1an＝13＋n－13＝n3，an＝3n，a4＝34，选A.2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列bn2n为等差数列，并求{bn}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，所以an＝2n－1.(2)因为bn＋1－2bn＝8an，所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即bn＋12n＋1－bn2n＝2.又b121＝1，所以bn2n是首项为1，公差为2的等差数列．所以bn2n＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以bn＝(2n－1)×2n.等差数列的性质是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．高考对等差数列的性质的考查常有以下三个命题角度：(1)等差数列项的性质的应用；(2)等差数列前n项和的性质的应用；(3)等差数列前n项和的最值．等差数列的性质及应用(高频考点)[典例引领]角度一等差数列项的性质的应用(1)(2019·太原市模拟试题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则S11＝()A．66B．55C．44D．33(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.【解】(1)选D.法一：设等差数列{an}的公差为d，因为2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，所以12a1＋60d＝36，即a1＋5d＝3，所以a6＝3，所以S11＝11（a1＋a11）2＝11×2a62＝11a6＝33，故选D.法二：因为a1＋a5＝2a3，a8＋a10＝2a9，所以2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝6a3＋6a9＝36，所以a3＋a9＝6，所以S11＝11（a1＋a11）2＝11（a3＋a9）2＝33，故选D.(2)设等差数列的前12项中奇数