2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定及性质课件 理 新人教A版

第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的判定定理(2)直线与平面垂直的性质定理2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定定理(2)平面与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案A答案解析根据线面垂直的判定定理知A正确；当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、垂直或异面，故B错误；当l∥β，l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.解析2．(2019·浙江模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n解析∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.解析答案C答案3．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是()A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n解析对于A，m可以在β内，故A错误；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错误．解析答案B答案4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错误；解析答案C答案∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误．故选C.解析5．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部答案A答案解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内．∴H∈AB.解析6．(2019·沈阳模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案3答案解析如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.解析核心考向突破考向一有关垂直关系的判断例1(1)已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线，则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α答案A答案解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线和平面垂直的判定定理，而A中，直线l也可以是与平面α斜交或平行的直线，故选A.解析(2)(2019·福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC答案D答案解析依题意，MN∥AC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC⊥BC，因此MN与BC所成的角是90°，B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BC⊥AC，BC⊥VA，因此BC⊥平面VAC.又BC⊂平面VBC，所以平面VBC⊥平面VAC，D正确．故选D.解析触类旁通判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．2善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了.3要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.即时训练1.(2018·北京东城模拟)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β答案B答案解析因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B.解析2．(2019·银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF答案A答案解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A.解析考向二直线与平面垂直的判定与性质角度1利用线线垂直证明线面垂直例2(1)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．①证明：PO⊥平面ABC；②若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解①证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接OB，因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC.答案②作CH⊥OM，垂足为H.又由①可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，答案∠ACB＝45°.在△OCM中根据余弦定理可求得OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为455.答案(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.①求证：BD⊥平面A1ACC1；②若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A－BCB1的体积．解①证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C∥ED，∵E为AB1的中点，∴D为AC的中点，答案∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由A1A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，得A1A⊥BD，又∵A1A，AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，∴BD⊥平面A1ACC1.答案②由AB＝1，得BC＝BB1＝1，由①知AD＝12AC，又AC·AD＝1，∴AC2＝2，∴AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，∴S△ABC＝12AB·BC＝12，∴VA－BCB1＝VB1－ABC＝13S△ABC·BB1＝13×12×1＝16.答案角度2利用线面垂直证明线线垂直例3(1)(2019·四川模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，D变为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE.①求证：AD′⊥EB；②求点E到平面ABD′的距离．解①证明：∵AE＝BE＝22，AB＝4，∴AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥EB.取AE的中点M，连接MD′，则AD′＝D′E＝2⇒MD′⊥AE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，MD′⊂平面D′AE，∴MD′⊥平面ABCE，∴MD′⊥BE，AE∩D′E＝M，从而EB⊥平面AD′E，∴AD′⊥EB.②由①知MD′⊥平面ABCE，且MD′＝2，S△AEB＝4，易知BM＝10，BD′＝23，AD′＝2，AB＝4，S△ABD′＝23.答案设点E到平面ABD′的距离为d，由VE－ABD′＝VD′－ABE，得13×23d＝13×2×4，∴d＝263.答案(2)(2019·江苏模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：①MN∥平面ABB1A1；②AN⊥A1B.证明①取AB的中点P，连接PM，PB1.因为M，P分别是AC，AB的中点，所以PM∥BC，且PM＝12BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1.因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N且PM＝B1N.所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1.答案②因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1.又因为BB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1.又因为∠A1B1C1＝∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1.答案又平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥平面ABB1A1.又因为A1B⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B.连接AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B.又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂平面AB1N，所以A1B⊥平面AB1N，而AN⊂平面AB1N，所以A1B⊥AN.答案触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．2证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直有时需借助线面垂直的性质.即时训练3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．解(1)证明：连接BD.∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD.又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝3.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝23VC－PNB＝23×13×32×2＝23.答案4．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．解(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，又BD⊂平面DOB，故AC⊥BD.答案(2)连接EO.由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又