2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用（第5课时）

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第五课时利用导数研究函数零点专题利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一，也是高考考查的热点题型，常作为解答题的一问出现，难度较大．解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题．返回导航利用函数图象研究函数零点问题(2015全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋14，g(x)＝－lnx.(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线．(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，讨论h(x)零点的个数．返回导航解析：(1)当a＝－34时，x轴为曲线y＝f(x)的切线．(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－lnx＜0，故而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上无零点．当x＝1时，若a≥－54，则f(1)＝a＋54≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；返回导航若a＜－54，则f(1)＜0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零点；当x∈(0，1)时，g(x)＝－lnx＞0.所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x2＋a在(0，1)上无零点，故f(x)在(0，1)上单调．而f(0)＝14，f(1)＝a＋54，所以当a≤－3时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0，1)上没有零点返回导航(ⅱ)若－3＜a＜0，则f(x)在0，－a3上单调递减，在－a3，1上单调递增，故在(0，1)中，当x＝－a3时，f(x)取得最小值，最小值为f－a3＝2a3－a3＋14.①若f－a3＞0，即－34＜a＜0，f(x)在(0，1)上没有零点；返回导航②若f－a3＝0，即a＝－34，则f(x)在(0，1)上有唯一零点；③f－a3＜0.即－3＜a＜－34，由于f(0)＝14，f(1)＝a＋54，所以当－54＜a＜－34时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当－3＜a≤－54时，f(x)在(0，1)上有一个零点．返回导航综上，当a＞－34或a＜－54时，h(x)有一个零点；当a＝－34或a＝－54时，h(x)有两个零点；当－54＜a＜－34时，h(x)有三个零点．返回导航【反思归纳】1．利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其图象的函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．(2)利用导数研究出该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象．(3)结合图象求解．返回导航2．利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值结构方程根的个数问题的一般方法将问题转化为可用导数研究的某函数的零点问题或用导数能研究其图象的两个函数的交点个数问题求解．返回导航3．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调．第二步：证明端点值异号．提醒：对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件．返回导航【即时训练】已知定义域为R的奇函数f(x)，当x0时，f(x)＝lnx－ax＋1(a∈R)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数y＝f(x)在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围．返回导航解：(1)设x0，则－x0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x)－ax－1，当x＝0时，f(x)＝0，所以函数f(x)＝lnx－ax＋1（x0），0（x＝0），－ln（－x）－ax－1（x0）.返回导航(2)因为函数f(x)是奇函数，所以函数y＝f(x)的零点关于原点对称，由f(x)＝0恰有5个不同的实数根知5个实数根中有两个正根、两个负根、一个零根，且两个正根和两个负根互为相反数．所以要使方程f(x)＝0恰有5个不同的实数根，只要使方程f(x)＝0在(0，＋∞)上恰有两个不同的实数根．返回导航下面研究x0时的情况：因为f′(x)＝1x－a，所以当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，所以方程f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两个不同的实数根．所以当a0时，f′(x)＝－a（x－1a）x，令f′(x)＝0，得x＝1a.返回导航当0x1a时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x1a时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)在x＝1a处取得极大值－lna.所以要使方程f(x)＝0在(0，＋∞)上恰有两个不同的实数根，只要－lna0，解得0a1，故a的取值范围是(0，1)．返回导航构造函数法研究函数零点问题已知函数f(x)＝ex－2x－1.(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(Ⅱ)设g(x)＝af(x)＋(1－a)ex，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．返回导航解析：(Ⅰ)由题易知f′(x)＝ex－2，f′(0)＝1－2＝－1，f(0)＝e0－2×0－1＝0，∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.(Ⅱ)由题易知g(x)＝ex－2ax－a，g′(x)＝ex－2a.当a≤0时，g′(x)＞0，∴g(x)在R上单调递增，不符合题意．当a＞0时，令g′(x)＝0，得x＝ln2a，在(－∞，ln2a)上，g′(x)＜0，在(ln2a，＋∞)上g′(x)＞0，返回导航∴g(x)在(－∞，ln2a)上单调递减，在(ln2a，＋∞)上单调递增，∴g(x)极小值＝g(ln2a)＝2a－2aln2a－a＝a－2aln2a.∵g(x)有两个零点，∴g(x)极小值＜0，即a－2aln2a＜0，∵a＞0，∴ln2a＞12，解得a＞e2，∴实数a的取值范围为e2，＋∞.返回导航【反思归纳】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的交点个数的图象的交点个数问题．返回导航【即时训练】设函数f(x)＝2lnx＋1x，g(x)＝2x－alnx(a∈R)．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数g(x)在(0，e2]上恰有2个零点，求a的取值范围．返回导航解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝2x－1x2＝2x－1x2所以f′(1)＝1且f(1)＝1由导数几何意义知f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0返回导航(2)由g(x)＝2x－alnx＝0，∴2a＝lnxx令p(x)＝lnxx，所以p′(x)＝1－lnxx2，所以p(x)在(0，e)上单调递增，在(e，e2)上单调递减，所以当x＝e时，p(x)取得极大值，也是最大值．因为p(e)＝lnee＝1e，p(e2)＝lne2e2＝2e2，且x→0时，p(x)→－∞，故2e2≤2a＜1e，所以2e＜a≤e2.