2020版九年级数学下册 第1章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的联系课件 （新版）湘教版

1.4二次函数与一元二次方程的联系【知识再现】一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况,当b2-4ac______0时,有两个不相等的实数根,当b2-4ac______0时,有两个相等的实数根,当b2-4ac______0时,方程没有实数根.=【新知预习】阅读教材P24-27,学习相关知识点并填空:1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况2_______________________1_____________________0_____________两个不相等的实数根两个相等的实数根无实数根2.一元二次方程的图象解法二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的___________就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的_______.横坐标根3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法(1)先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.(2)确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间.(3)列表,在(2)中的两整数之间取值,从而利用计算器确定方程的近似根.4.二次函数图象上的点与一元二次方程的关系已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的某一个函数值y=M,求对应的自变量时,需要解一元二次方程______________.ax2+bx+c=M【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是()A.3B.2C.1D.0A2.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是()A.无解B.x=1C.x=-4D.x=-1或x=4D3.二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是()A.2和-3B.-2和3C.2和3D.-2和-3A知识点一二次函数与一元二次方程的关系(P24探究拓展)【典例1】已知二次函数y=x2-mx+m-2.(1)求证:不论m取何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个交点.(2)当二次函数的图象经过点(3,6)时,确定m的值,并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标.【规范解答】(1)Δ=m2-4(m-2)………………………一元二次方程根的判别式=(m-2)2+4,………………………配方∵(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+40,………………一元二次方程有两个根的条件∴无论m取何实数,抛物线总与x轴有两个交点.(2)∵二次函数的图象经过点(3,6),∴6=9-3m+m-2,∴m=,………………………解一元一次方程∴y=x2-x-.当x=0时,y=-,…………y轴上点的坐标特征即该函数图象与y轴交于点.121232323(0)2，当y=0时,x2-x-=0,……………x轴上点的坐标特征解得x1=-1,x2=.……………解一元二次方程则该函数图象与x轴的交点坐标是:(-1,0),.综上所述,m的值是,此时,该函数图象与y轴交于点,与x轴的交点坐标是:(-1,0),.1232323(0)2，123(0)2，3(0)2，【学霸提醒】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与方程ax2+bx+c=0(a≠0)之间的关系1.b2-4ac0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根.2.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根.3.b2-4ac0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根.【题组训练】1.(2019·荆门中考)抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.3C★2.表格中是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的一些对应值,可以判断方程ax2+bx+c=-3(a≠0)的一个近似根是()世纪金榜导学号x-1.1-1.2-1.3-1.4y=ax2+bx+c-2.75-2.86-3.13-3.28CA.x=-1.1B.x=-1.2C.x=-1.3D.x=-1.4★3.已知二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图,则关于x的一元二次方程-x2+4x+m=0的解是______________.x1=-1,x2=5★★4.设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).世纪金榜导学号(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数,说明理由.(2)若该二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.(3)若a+b0,点P(2,m)(m0)在该二次函数图象上,求证:a0.解:(1)当y=0时,ax2+bx-(a+b)=0(a≠0),∵Δ=b2+4a(a+b)=(2a+b)2,∴当2a+b=0,即Δ=0时,二次函数图象与x轴有1个交点;当2a+b≠0,即Δ0时,二次函数图象与x轴有2个交点.(2)当x=1时,y=0,∴函数图象不可能经过点C(1,1).∴函数图象经过A(-1,4),B(0,-1)两点,∴解得a=3,b=-2.∴二次函数的表达式为y=3x2-2x-1.abab4,ab1.(3)∵P(2,m)在该二次函数图象上,∴m=4a+2b-(a+b)=3a+b,∵m0,∴3a+b0,又∵a+b0,∴2a=3a+b-(a+b)0,∴a0.知识点二二次函数与一元二次方程关系的实际应用(P26例2拓展)【典例2】如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系h=20t-5t2.解答以下问题:(1)小球从飞出到落地要用多少时间?(2)小球飞行的最大高度是多少?此时需要多少飞行时间?【思路点拨】(1)小球落地时的飞行高度h=0,代入函数表达式即可求出t.(2)利用配方法将表达式表示成顶点式,求出最值及时间t.【自主解答】(1)令h=20t-5t2=0,解得t1=0(舍去),t2=4.∴小球从飞出到落地要用4s.(2)由配方法得y=20t-5t2=-5(t-2)2+20,∵a=-50,∴小球飞行的最大高度是20m,此时需要飞行2s.【学霸提醒】二次函数与一元二次方程关系的应用1.首先进行数学建模,理解二次函数中的变量关系.2.根据函数图象结合函数表达式求出所需的变量值.【题组训练】1.(2019·北京丰台区模拟)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足表达式y=a(x-k)2+h.已知球与O点的水平距离为6m时,达到最高2.6m,球网与O点的水平距离为9m.高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m,则下列判断正确的是()A.球不会过网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界D.无法确定C★2.(生活情境题)某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图,若菜农身高为1.8m,他在不弯腰的情况下,在棚内的横向活动范围是______m.3★3.某司机驾车行驶在公路上,突然发现正前方有一行人,他迅速采取紧急刹车制动.已知汽车刹车后行驶距离s(m)与行驶时间t(s)之间的函数表达式为s=-4t2+16t,则这个行人至少在_______m以外,司机刹车后才不会撞到行人.16★★4.某运动员身高1.91m,在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l约为________.154m【火眼金睛】若二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴有交点,求c的取值范围.正解:∵二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴有交点,∴b2-4ac=(-2)2-4c≥0,∴c≤1.【一题多变】若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则的值为_______.1211xx-4【母题变式】【变式一】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+x+c=0(a≠0)的两根之和()A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定232(b)3A【变式二】二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1x5的范围内有解,则t的取值范围是____________.-5t≤4