2020版新教材高中数学 第三章 函数 3.1.3.1 函数的奇偶性课件 新人教B版必修1

3.1.3函数的奇偶性第1课时函数的奇偶性1.函数的奇偶性前提函数f(x)定义域D内的任意一个x，都有-x∈D，条件且f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)结论则称y=f(x)为偶函数则称y=f(x)为奇函数【思考】函数的奇偶性定义中，“对于定义域D内任意一个x，都有-x∈D”，那么奇偶函数的定义域有什么特征？提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.2.奇偶函数的图像特征(1)函数是偶函数⇔图像关于y轴对称；(2)函数是奇函数⇔图像关于原点对称.【思考】(1)如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？提示：图像过原点，即f(0)=0.(2)有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？提示：有.如f(x)=0的图像为x轴，即关于y轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点.()(2)如果定义域内存在x0，满足f(-x0)=f(x0)，函数f(x)是偶函数.()(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f(x)+f(-x)=0，则函数f(x)是奇函数.()提示：(1)×.不一定，如函数f(x)=.(2)×.不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立.(3)√.若f(x)+f(-x)=0，则f(-x)=-f(x).1x2.下列图像表示的函数具有奇偶性的是()【解析】选B.B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.3.若f(x)为R上的奇函数，且f(2)=3，则f(-2)=________.【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-2)=-f(2)=-3.答案：-3类型一函数奇偶性的判断【典例】1.函数f(x)=-2x的图像关于()A.y轴对称B.坐标原点对称C.直线y=-x对称D.直线y=x对称13x2.判断下列函数的奇偶性：世纪金榜导学号(1)f(x)=|2x-1|-|2x+1|.(2)f(x)=221xx00x0x1x0.－，，，＝，－，【思维·引】1.先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性.2.根据函数奇偶性的定义判断.【解析】1.选B.函数的定义域A={x|x≠0}，所以x∈A时，-x∈A，且f(-x)=-+2x=-=-f(x)，所以f(x)为奇函数，故图像关于坐标原点对称.1(2x)3x13x2.(1)因为x∈R，f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.(2)方法一：作出函数图像如图：关于原点对称，所以函数是奇函数.方法二：当x0时，f(x)=1-x2，此时-x0，所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，所以f(-x)=-f(x)；当x0时，f(x)=x2-1，此时-x0，f(-x)=1-(-x)2=1-x2，所以f(-x)=-f(x)；当x=0时，f(-0)=-f(0)=0.综上，对x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以f(x)为R上的奇函数.【内化·悟】函数具有奇偶性的前提是什么？提示：定义域关于原点对称.【类题·通】判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图像法：【发散·拓】如果两个函数f(x)，g(x)具有奇偶性，且有共同的定义域，那么f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、(g(x)≠0)有以下规律：偶±偶=偶、奇±奇=奇、偶×偶=偶、偶×奇=奇、奇×奇=偶，相除时类似于相乘的情况.fxgx【延伸·练】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数【解析】选D.当x∈R时，-x∈R，A中，设g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)·f(x)=g(x)，为偶函数；B中，设g(x)=f(x)|f(-x)|，则g(-x)=f(-x)·|f(x)|非奇非偶函数；C中，设g(x)=f(x)-f(-x)，则g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)，为奇函数；D中，设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，所以f(x)+f(-x)是偶函数.【习练·破】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=x3+x.(3)f(x)=1.x1－x1x01x0x1x0.＋，，，＝，－＋，【解析】(1)f(x)=的定义域是A=(-∞，1)∪(1，+∞)，-1∈A，但1∉A，所以f(x)为非奇非偶函数.(2)f(x)=x3+x的定义域是R，当x∈R时，-x∈R，且f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.1x1－(3)函数的定义域为R，当x∈R时，-x∈R，当x0时，-x0，则f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)；当x=0时，f(-x)=f(x)=1；当x0时，-x0，f(-x)=-x+1=f(x).综上，对任意x∈R，都有f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.【加练·固】函数f(x)=-x2的图像关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称21x【解析】选A.f(x)的定义域为{x|x≠0}，又f(-x)=-(-x)2=-x2=f(x).所以f(x)是偶函数，所以其图像关于y轴对称.21x21()x－类型二奇偶函数图像的应用【典例】1.如图，给出了奇函数f(x)的局部图像，那么f(1)等于()A.-4B.-2C.2D.42.设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，且f(3)=0，当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式xf(x)0的解集是________.世纪金榜导学号【思维·引】1.奇函数关于原点对称，点(-1，f(-1))的对称点为(1，-f(-1)).2.利用偶函数的图像性质作出x∈[-5，0]上的图像，分两种情况讨论求不等式的解集.【解析】1.选B.由函数的图像可得f(-1)=2，又由函数为奇函数，则f(1)=-f(-1)=-2.2.因为f(x)为偶函数，且由图像可得在[0，3)上，f(x)0，在(3，5]上，f(x)0，则在[-5，-3)上，f(x)0，在(-3，0]上，f(x)0，xf(x)0⇔所以-5≤x-3或0x3，即不等式的解集为[-5，-3)∪(0，3).答案：[-5，-3)∪(0，3)x0x0fx0fx0，，或（）（），【内化·悟】怎样作具有奇偶性的函数的图像？提示：先判断函数的奇偶性，作函数在y轴右侧的图像，根据奇偶性得到函数左侧的图像.【类题·通】巧用奇偶性作函数图像的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0，+∞)(或(-∞，0])上对应的图像.(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞，0](或[0，+∞))上对应的函数图像.【习练·破】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图像.(2)根据图像写出函数y=f(x)的增区间、值域.【解析】(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(-1，0)，(1，+∞)，值域为[-1，+∞).【加练·固】定义在R上的奇函数f(x)在[0，+∞)上的图像如图所示.(1)画出f(x)的图像.(2)写出函数的单调减区间.【解析】(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(-1，-1)，(-2，0)，连线可得f(x)的图像如图：(2)单调减区间为(-∞，-1]，[1，+∞).类型三利用奇偶性求参数值角度1利用奇偶性求参数值【典例】已知函数f(x)=x3+(a+1)x2的图像关于原点对称，则a=世纪金榜导学号()A.1B.-1C.-2D.2【思维·引】根据图像，先得到奇偶性，再根据定义求值.【解析】选B.因为函数图像关于原点对称，所以函数是奇函数，则f(-x)=-f(x)，得-x3+(a+1)x2=-x3-(a+1)x2，即(a+1)x2=0，即a+1=0，得a=-1.【素养·探】在利用奇偶性的过程中，需要用到核心素养中的逻辑推理，将奇偶性转化为相应的等式，通过逻辑推理、计算求参数的值.若将本例中的条件改为函数f(x)=ax2+(a-1)x+2是偶函数，试求a的值.【解析】若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)，即k(-x)2-(k-1)x+2=kx2+(k-1)x+2，即(k-1)x=0对于x∈R恒成立，则k-1=0，k=1.角度2利用奇偶性求函数值【典例】1.已知函数f(x)=ax3+bx-2，f(2019)=3，则f(-2019)=世纪金榜导学号()A.-7B.-5C.-3D.-22.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x+1，则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3【思维·引】1.利用f(2019)=3求出未知式子的值，再求f(-2019)的值.2.利用奇偶函数的定义，构造f(x)+g(x)后求值.【解析】1.选A.因为f(2019)=3，所以f(2019)=20193a+2019b-2=3，所以20193a+2019b=5，所以f(-2019)=-20193a-2019b-2=-5-2=-7.2.选B.由f(x)-g(x)=x3+x+1，将所有x替换成-x，得f(-x)-g(-x)=-x3-x+1，根据f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)，得f(x)+g(x)=-x3-x+1，再令x=1，计算得，f(1)+g(1)=-1.【类题·通】利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，a+b=0求参数.(2)解析式含参数：根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数即可求解.【习练·破】1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x1时，f(x)=-1，则f(-2)=()3x511A.B.C.0D.222【解析】选B.根据题意，当x1时，f(x)=-1，则f(2)=-1=，又由函数f(x)为奇函数，则f(-2)=-f(2)=-.3x1232122.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3≤x≤1)是偶函数，则a=________，b=________.【解析】因为f(x)是偶函数，所以其定义域关于y轴对称.所以-2a-3=-1.所以a=-1.所以f(x)=-x2+bx+c.因为f(-x)=f(x)，所以-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c.所以-b=b，所以b=0.答案：-10【加练·固】若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，则g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选A.因为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，即ax2+bx+c=ax2-bx+c，所以b=0，所以g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx，所以g(-x)=-(ax3+cx)=-g(x)，所以g(x)是奇函数.