2020届高考数学一轮总复习 第二单元 函数 第14讲 函数模型及其应用课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第二单元函数第14讲函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异在区间(0，＋∞)，尽管y＝ax(a1)、y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是_________，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增长，y＝ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远________y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度则会越来越慢，因而总存在一个x0，当xx0时，就会有______________.增函数大于logaxxnax(a1)2．应用问题的解法解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把_______抽象转化为_________，然后再用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系；(2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型；(3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论；(4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答．实际问题数学问题1．指数增长模型：设原有总量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x.2．解函数应用问题的基本步骤1．当x0时，比较y＝log5x，y＝5x，y＝x5三个函数，下列说法正确的是()A．y＝5x的图象始终在最上方B．当x增长到足够大时，y＝5x的图象始终在最上方C．y＝x5的图象与y＝5x的图象会不断穿插交汇，有无数个交点D．y＝log5x的图象与y＝x5的图象有一个交点解：画出三个函数的图象，并结合它们的增长情况分析应选B.答案：B2．方程x2＝2x解的个数为()A．1B．2C．3D．4解：画出y＝x2和y＝2x的图象，结合它们的增长情况，观察它们有3个交点，所以有3个解．答案：C3．某市生产总值两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产的年平均增长率为()A.p＋q2B.p＋1q＋1－12C.pqD.p＋1q＋1－1解：年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝p＋1q＋1－1.答案：D4．一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，则年产量y随经过年数x变化的函数关系式为______________________.答案：y＝a(1＋p%)x(x∈N*，且x≤m)5．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大．设隔墙的长度为x，矩形的面积为S.(1)S关于x的函数关系为__________________；(2)当x＝______时，S有最大值______.答案：(1)S＝－2x2＋12x(0x6)(2)3,18二次函数模型指数、对数函数模型分段函数模型考点1·二次函数模型【例1】加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟解：由已知得9a＋3b＋c＝0.7，16a＋4b＋c＝0.8，25a＋5b＋c＝0.5，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15(t－154)2＋1316.所以当t＝154＝3.75时，p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．答案：B【变式探究】1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.606(万元)B．45.6(万元)C．45.56(万元)D．45.51(万元)解：依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)，因为x∈N，所以x＝10时，Smax＝45.6(万元)．点评：实际生活中的二次函数问题(如利润、面积、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、最值、零点等知识解决，解题时要注意函数的定义域．考点2·指数、对数函数模型【例2】现有某种细胞100个，其中每小时有占总数12的细胞分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律下去．回答下列问题：(1)细胞总数y与时间x(小时)的函数关系为____________；(2)至少经过________小时，细胞总数可以超过1010个(参考数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．解：(1)从特殊入手，采用归纳的方法，得到所求函数关系式．现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后细胞的总数，1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为y＝100×(32)x，x∈N*.(2)由100×(32)x1010，得(32)x108，两边取以10为底的对数，得xlg328，所以x8lg3－lg2，因为8lg3－lg2≈80.4771－0.3010≈45.43，所以x45.43.即至少经过46小时，细胞总数超过1010个．答案：(1)100×(32)x，x∈N*；(2)46【变式探究】2．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n200，得1.12n2013，两边取对数，得nlg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝195，所以n≥4，所以从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．点评：(1)在求解应用题时，要在认真审清题意，理顺关系上下功夫，设计合理的解题方案．(2)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．考点3·分段函数模型【例3】(2018·山东日照质检)在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，在保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息)，在甲提供的资料中：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售单价P(元/件)的关系如图所示；③该店每月需各种开支2000元．(1)写出月销量Q(百件)与销售单价P(元/件)的关系，并求该店的月利润L(元)关于销售单价P(元/件)的函数关系式(该店的月利润＝月销售利润－该店每月支出)；(2)当商品的价格为每件多少元时，该店的利润最大？并求该店的月利润的最大值；(3)若企业乙只依靠该店，最早可望在多少年后脱贫(无债务)?解：(1)由题设得，Q＝－2P＋50（14≤P≤20），－32P＋40（20P≤26）.L＝Q(P－14)×100－2000.因此，L＝（－2P＋50）（P－14）×100－2000（14≤P≤20）（－32P＋40）（P－14）×100－2000（20P≤26）＝－200（P2－39P＋360）（14≤P≤20），－100（32P2－61P＋580）（20P≤26）.(2)当14≤P≤20时，求得Lmax＝4050，此时P＝392＝19.5；当20P≤26时，求得Lmax＝120503，此时P＝613.因为4050120503，所以，当P＝19.5元时，月利润最大，为4050元．(3)设可在n年后脱贫(无债务)．依题意有12n×(4050－3600)－50000－58000≥0，解得n≥20，即最早在20年后脱贫．3.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x20≤x≤400，80000x400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润f(x)表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)【变式探究】分析：(1)由已知总收益＝总成本＋利润，知道利润＝总收益－总成本．由于R(x)是分段函数，所以利润f(x)也是分段函数；(2)分别求出f(x)各段中的最大值，通过比较就可以求出f(x)的最大值．解：(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而：f(x)＝－12x2＋300x－200000≤x≤400，60000－100xx400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，当x＝300时，有最大值25000；当x400时，f(x)＝60000－100x是减函数，则f(x)60000－100×400＝2000025000.所以当x＝300时，f(x)有最大值25000.所以当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．点评：(1)分段函数的特征是每一段自变量所遵循的规律不同，因此，要根据每一段上函数表达式的特点选择相应的求解方法．(2)分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后进行比较．1．解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归结为相应的数学问题．二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型使实际问题获解．2．在引入自变量建立目标函数解决实际问题时，一要注意自变量的取值范围，二要检验结果，看是否符合实际问题的要求．