2020届高考数学一轮总复习 第九单元 解析几何 第63讲 椭圆课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第63讲椭圆1．掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程．2．掌握椭圆的简单几何性质，明确椭圆基本量a，b，c，e的含义及其关系．1．椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的，两焦点的距离叫作椭圆的.距离的和等于常数(大于|F1F2|)焦点焦距3．椭圆的标准方程与简单几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)对称性关于x轴，y轴，原点对称长短轴长轴长|A1A2|＝，短轴长|B1B2|＝焦距|F1F2|＝2c(c0)，c2＝离心率e＝(0e1)2a2ba2－b21．椭圆标准方程的统一形式Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．2．P是椭圆上一点，F是椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.3．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2b2a，通径是最短的焦点弦．4．离心率e＝1－ba2.5．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)．6．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.1．设平面上两个定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝10，则动点P的轨迹为()A．椭圆B．双曲线C．线段D．无图形解：因为|PF1|＋|PF2|＝10＝|F1F2|，所以P点的轨迹是以F1、F2为端点的线段．答案：C2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解：由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.答案：D3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1解：因为c＝1，ca＝12，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，故所求方程为x24＋y23＝1.答案：D4．(2017·浙江卷)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133B.53C.23D.59解：因为椭圆方程为x29＋y24＝1，所以a＝3，c＝a2－b2＝9－4＝5.所以e＝ca＝53.答案：B5．F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则1PF·2PF的最大值是()A．－2B．1C．2D．4解：设P(x，y)，依题意得F1(－3，0)，F2(3，0)，1PF·2PF＝(－3－x)(3－x)＋y2＝x2＋y2－3＝34x2－2.因为0≤x2≤4，所以－2≤34x2－2≤1.所以1PF·2PF的最大值是1.答案：B椭圆的定义、标准方程椭圆的几何性质椭圆的综合应用考点1·椭圆的定义、标准方程【例1】(1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为____________．解：(1)因为椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，因为△ABF2的周长为16，所以4a＝16，所以a＝4，又e＝ca＝22，所以c＝22.所以b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以所求方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝1(2)已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________.解：(2)根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1、F2为椭圆C的焦点，连接PF1、PF2，显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，所以|AN|＋|BN|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×6＝12.答案：12【变式探究】1．(1)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有共同焦点的椭圆的标准方程为.(2)(2017·河北衡水二调)设椭圆x216＋y212＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且满足1PF·2PF＝9，则|PF1|·|PF2|的值为()A．8B．10C．12D．15解：(1)因为所求椭圆与y225＋x29＝1有共同的焦点(0，±4)，所以c＝4，其方程形式为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，(方法1)由条件知a2＝b2＋16，5a2＋3b2＝1，解得a2＝20，b2＝4.故所求的椭圆方程为y220＋x24＝1.(方法2)因为2a＝3＋－5－42＋3＋－5＋42＝24＋85＋24－85＝45，所以a＝25，所以b2＝a2－c2＝20－16＝4.故所求椭圆方程为y220＋x24＝1.(2)由椭圆方程x216＋y212＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而12FF＝2PF－1PF，所以|12FF|＝|2PF－1PF|，两边同时平方得：所以|12FF|2＝|2PF|2－21PF·2PF＋|1PF|2，所以|1PF|2＋|2PF|2＝|12FF|2＋21PF·2PF＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，所以34＋2|1PF|·|2PF|＝64，所以|PF1|·|PF2|＝15.答案:(1)y220＋x24＝1(2)D点评：(1)涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解．点P在椭圆上，则点P一定满足椭圆的定义，同时点P的坐标适合方程．(2)求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，要注意“定型”和“定量”两方面的要求．(3)椭圆的一般方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．考点2·椭圆的几何性质【例2】(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14解：(方法1)(特例法，先确定c，再求a)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝|PB||AB|＝3a＋2＝36，解得a＝4，所以e＝ca＝14.(方法2)(找a，c的关系)P(c＋2ccos60°，2csin60°)，即P(2c，3c)，因为PA的直线方程为y＝36(x＋a)，由P在PA上，得3c＝36(2c＋a)，所以4c＝a，所以e＝ca＝14.答案：D【变式探究】2.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是.解：将y＝b2代入椭圆的标准方程，得x2a2＋b24b2＝1，所以x＝±32a，故B(－32a，b2)，C(32a，b2)．又因为F(c,0)，所以BF→＝(c＋32a，－b2)，CF→＝(c－32a，－b2)．因为∠BFC＝90°，所以BF→·CF→＝0，所以(c＋32a)(c－32a)＋(－b2)2＝0，即c2－34a2＋14b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝32c2，所以e2＝c2a2＝23，所以e＝63(负值舍去)．点评：(1)求椭圆的离心率主要有两种方法：①直接求出a，c的值，代入e＝ca求得e；②建立a，b，c的齐次等式，转化为关于e的方程求解．(2)过椭圆焦点且与对称轴垂直的弦是一条特殊的弦，其弦长为2b2a(通常叫做通径)．(3)研究椭圆的几何性质时，要注意弄清焦点、顶点、离心率等概念，同时，要注意与其他知识的联系(如平面几何、向量等知识)．考点3·椭圆的综合应用【例3】设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为e＝22，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．解：(1)依题意知，2a＝4，所以a＝2.因为e＝ca＝22，所以c＝2，b＝a2－c2＝2.所以所求椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)因为点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，所以y0－y1x0－x1×2＝－1，y0＋y12＝2×x0＋x12.解得x1＝4y0－3x05，y1＝3y0＋4x05.所以3x1－4y1＝－5x0.因为点P(x0，y0)在椭圆C：x24＋y22＝1上，所以－2≤x0≤2,则－10≤－5x0≤10.所以3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．【变式探究】3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为(43，13)，且BF2＝2，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．解：(1)因为C(43，13)，所以169a2＋19b2＝1，即16a2＋1b2＝9，因为BF22＝b2＋c2＝a2，所以a2＝(2)2＝2，所以b2＝1，所以椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，C(x，y)，因为A，C关于x轴对称，所以A(x，－y)，因为B，F2，A三点共线，所以b－c＝b＋y－x，即bx－cy－bc＝0，①因为F1C⊥AB，所以yx＋c·b－c＝－1，即xc－by＋c2＝0，②①②联立方程组，解得x＝ca2b2－c2，y＝2bc2b2－c2，所以C(a2cb2－c2，2bc2b2－c2)，因为C在椭圆上，所以a2cb2－c22a2＋2bc2b2－c22b2＝1，化简得5c2＝a2，所以ca＝55，故离心率为55.点评：椭圆的综合运用问题，要注意掌握椭圆的定义、标准方程，椭圆的离心率、范围等几何性质，同时要注意与其他知识的综合运用，并有意识地注意运算求解能力及综合分析能力的培养．1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，并注意定义中常数大于|F1F2|的条件．解决与焦点有关的问题时，要结合图形看能否运用定义．2．用待定系数法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可分类讨论或设为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式．3．讨论椭圆的性质，离心率问题是重点，求椭圆的离心率e的常用方法有两种：(1)求得a，c的值，直接代入e＝ca求得；(2)列出关于a，b，c的一个齐次方程(不等式)，再结合b2＝a2－c2消去b，转化为关于e的方程(或不等式)再求解．已知离心率，也就给出了a，b的关系：ba＝1－e2，e＝1－ba2.4．过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为2b2a，把这个弦叫作椭圆的通径．5．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的点的坐标P(x，y)时，有|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，是容易忽略而导致错误的原因．