2020届高考数学一轮总复习 第六单元 数列与算法 第36讲 数列的概念及其表示法课件 理 新人教A

高考总复习第（1）轮理科数学第六单元数列与算法第36讲数列的概念及其表示法1．理解数列的定义及其有关概念，了解数列与函数、集合的关系．2．根据已知数列前几项的特点归纳数列的通项公式．3．掌握an与Sn的关系，根据Sn会求通项an.4．理解数列的单调性，会借助函数的单调性的研究方法，解决有关数列的单调性问题．1．数列的定义按照__________排列的一列数称为数列，数列的一般形式为a1，a2，…，an，…，简记为________.2.数列的单调性一定顺序{an}＝3.数列的通项公式如果一个数列{an}的第n项an与_________之间的函数关系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们把这个公式________叫作这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫作这个数列的__________.项数nan＝f(n)递推公式1．数列与函数的关系数列是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．在数列{an}中最大项与最小项若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.3．数列{an}的通项an与前n项和Sn的关系Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．两个常用恒等式：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1.1.数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式an可以写成()A.an＝(－1)n(6n－7)(n∈N*)B.an＝(－1)n＋1(6n－7)(n∈N*)C.an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)D.an＝(－1)n＋1(6n－5)(n∈N*)解：当n＝1时，排除A、D；当n＝2时，排除B，故选C.答案：C2．原命题为“若an＋an＋12an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解：an＋an＋12an，即an＋an＋12an，则an＋1an.所以{an}是递减数列．故原命题为真，其逆否命题也为真．若{an}为递减数列，则an＋1an，所以an＋an＋12an，所以an＋an＋12an，故其逆命题也是真命题，则其否命题也为真命题．答案：A3．已知数列{an}的通项公式是an＝n(n＋1)，则132是该数列的()A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项解：因为n(n＋1)＝132，所以n2＋n－132＝0，所以n＝11，或n＝－12(舍去)．答案：C4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解：因为S8＝a1＋a2＋…＋a7＋a8，S7＝a1＋a2＋…＋a7，所以a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案：A5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解：由递推关系得：a2＝2＋ln2，a3＝2＋ln3，由题中选项特点知，选A.答案：A由数列的前几项求数列的通项由数列的前n项和Sn求数列的通项数列的函数特性考点1·由数列的前几项求数列的通项【例1】写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)－2，54，－109，1716，…；(2)3,5,9,17,33，….解：(1)观察每一项的符号：奇数项为负，偶数项为正，符号可由(－1)n确定；把数列的前几项依次写成－21，54，－109，1716，…；观察分子：比分母大1，符合规律n2＋1；观察分母：符合规律n2.最后综合得所求通项公式为an＝(－1)nn2＋1n2(n∈N*)．(2)(方法1)由于每项的值增长很快，与{2n}：2，4，8，16，32，…，进行比较，得所求通项为an＝2n＋1(n∈N*)．(方法2)考虑前后两项的关系，有a2－a1＝21，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，累加得，an－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，所以an＝2n＋1(n∈N*)．【变式探究】1．根据数列前几项，写出数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…；(2)1,3,6,10，….解：(1)注意到前四项中有两项的分子为4，不妨把分子都统一成4，即45，48，411，414，…，所以an＝43n＋2.(2)(方法1)an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.(方法2)观察得an－an－1＝n(n≥2)．所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝nn＋12.点评：(1)依据数列前几项的特点归纳出通项公式的方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．具体可通过观察(观察项与项数的特点)、分析(系数、分子、分母等)、比较(与熟知的数列如等差、等比、(－1)n，2n，n2等进行比较)、综合(综合写出项与项数的关系)得到所求数列的通项公式．(2)注意掌握下列恒等式：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.考点2·由数列的前n项和Sn求数列的通项【例2】(2018·江西宜春三中月考)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，则通项公式an＝___________________.解：因为a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，当n≥2时，an＝Sn－1，两式相减得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，当n＝1时，a2＝S1＝1，所以数列{an}从第2项起为等比数列，公比为2.所以an＝a2×2n－2＝2n－2.所以an＝1，n＝1，2n－2，n≥2，n∈N*.答案：1，n＝1，2n－2，n≥2，n∈N*【变式探究】2．(2017·陕西咸阳二模)已知正项数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝n（n＋1）2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝nB．an＝n2C．an＝n2D．an＝n22解：因为a1＋a2＋…＋an＝n（n＋1）2，①当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝（n－1）n2，②①－②得an＝n（n＋1）2－（n－1）n2＝n，所以n≥2时，an＝n2.又当n＝1时，a1＝1×22＝1，a1＝1，适合上式．所以an＝n2(n∈N*)．点评：由Sn求an的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)将n＝1的情况进行检验，若适合n≥2的表达式，则可以合并；若不适合，则写成分段函数形式.考点3·数列的函数特性【例3】(2018·北京二模)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2,对任意p，q∈N*,都有ap＋q＝ap＋aq,则f(n)＝Sn＋60n＋1(n∈N*)的最小值为__________．解：令p＝n，q＝1，得an＋1＝an＋2，所以{an}是首项为a1＝2，公差为2的等差数列，所以Sn＝2n＋n（n－1）2×2＝n2＋n，所以f(n)＝Sn＋60n＋1＝n2＋n＋60n＋1＝(n＋1)＋60n＋1－1.构造函数g(x)＝x＋60x(x≥1)，画出g(x)的草图(如图)，由g(x)的性质可知f(n)在[1，60]单调递减，在[60，＋∞)单调递增，因为x∈N*，所以当n＝7或8时，f(n)＝Sn＋60n＋1取最小值，当n＝7时，f(7)＝292，当n＝8时，f(8)＝443，所以f(7)＝292＝876f(8)＝443＝886，所以f(n)＝Sn＋60n＋1的最小值为292.答案：292【变式探究】3．(2018·益阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为()A．－47B．－48C．－49D．－50解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由条件得10a1＋10×92d＝0，15a1＋15×142d＝25，解得a1＝－3，d＝23.所以nSn＝n2a1＋n2（n－1）2d＝－3n2＋13(n3－n2)＝13n3－10n23，构造函数f(x)＝13x3－103x2(x0)，f′(x)＝x2－203x，令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝203，当0x203时，f(x)单调递减，当x203时，f(x)单调递增，因为x∈N*，所以当n＝6或7时，nSn取最小值，当n＝7时，7S7＝13×73－10×723＝－49；当n＝6时，6S6＝13×63－103×62＝－48.所以7S76S6，(nSn)min＝－49.点评：(1)数列与函数知识有着密切的联系，解题中要注意函数、导数的知识的运用以及用研究函数的方法来研究数列，如借用判断函数的单调性的方法来判断数列的单调性，函数求最值的方法来研究数列的最值等．(2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去．1．根据数列的前若干项写出数列的通项公式，关键是通过观察、分析、比较，发现项与项数之间的关系．如果关系不明显时，应将该项的值作适当的变形和分解，让规律凸现出来．同时，要熟悉一些基本数列的通项及其特点，如正整数数列，正整数的平方数列，奇数数列，偶数数列，2或3为底的幂的数列，数列{(－1)n}等．2．已知Sn求an，要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的充要条件是n≥2，所得到的an的表达式一定要检验a1＝S1是否适合n≥2的表达式，如不适合，则an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，如适合，则an＝Sn－Sn－1(n≥1)．3．已知递推公式求通项，要求掌握如下常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．要求掌握如下结论：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1.4．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．研究数列的单调性时，要注意函数的单调性与数列的单调性的联系与区别．