2020届新高考数学艺考生总复习 第二章 函数、导数及其应用 第11节 利用导数研究函数的单调性课件

高考总复习艺考生山东版数学第11节利用导数研究函数的单调性第二章函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．2.能利用导数研究函数的单调性．3.会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)1.利用导数判断或证明函数的单调性，发展逻辑推理和数学运算素养．2.利用导数求函数的单调区间，提升逻辑推理和数学运算素养．3.已知函数的单调性求参数的取值范围，提升逻辑推理和数学运算素养利用导数研究函数的单调性是高考考查的热点内容，主要考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数确定函数的单调区间、已知函数的单调性求参数的取值范围等，考查转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法．题型主要以解答题为主，属于中高档题1．函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2．求函数单调区间的步骤(1)求定义域．(2)求导．(3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间．1．f′(x)0(或f′(x)0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；2．若f(x)可导且f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”：(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充要条件．()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．()(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．()(4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√[小题查验]1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数解析：A[当x∈(－3,0)时，f′(x)0，则f(x)在(－3,0)上是减函数，其他判断均不正确．]2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上的单调情况是()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：A[在(0,2π)上有f′(x)＝1－cosx0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．]3．(2019·和平区一模)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x20＋x0－2)x＋(y0－x30－x20＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为()A．(－2,1)B．(－1,2)C．(－∞，－2)D．(1，＋∞)解析：A[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x20＋x0－2)x＋(y0－x30－x20＋2x0)，知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＜0，解得：－2＜x＜1，故选A.]4．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝ex－x的减区间为________．答案：(－∞，0)5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.答案：3考点一利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研)分类讨论思想——分类与整合思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．[典例](2017·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．[解析](1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex，令f′(x)＝0得x＝－1±2，当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－1－2)和(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f(x)＝(1－x)(1＋x)ex，当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex＜0(x≥0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0＜a＜1时，设函数g(x)＝ex－x－1，g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围[1，＋∞)．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)下结论：f′(x)0时为增函数；f′(x)0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[跟踪训练]已知函数f(x)＝12x2－2alnx＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．解：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－2ax＋a－2＝x2＋a－2x－2ax.①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝x－22x≥0，f(x)在(0，＋∞)内递增．②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′(x)＞0；－a＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内递增，在(－a,2)内递减．③当－a＞2，即a＜－2时，∵0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内递增，在(2，－a)内递减．综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)内递增；当－2＜a＜0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内递增，在(－a,2)内递减；当a＜－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内递增，在(2，－a)内递减．考点二利用导数求函数的单调区间(师生共研)[典例]已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．用导数法求可导函数单调区间的一般步骤[跟踪训练]已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)．(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解：(1)函数f(x)的定义域为R.由已知得f′(x)＝exex＋1－a.∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，∴f′(－x)＝－f′(x)，即e－xe－x＋1－a＝－exex＋1＋a，解得a＝12.(2)由(1)f′(x)＝exex＋1－a＝1－1ex＋1－a.①当a≥1时，f′(x)＜0恒成立，∴a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减．②当0＜a＜1时，由f′(x)＞0得(1－a)(ex＋1)1，即ex＞－1＋11－a，解得x＞lna1－a，由f′(x)＜0得(1－a)(ex＋1)＜1，即ex＜－1＋11－a，解得x＜lna1－a.∴a∈(0,1)时，函数y＝f(x)在lna1－a，＋∞上单调递增，在－∞，lna1－a上单调递减．考点三已知函数的单调性求参数的取值范围(子母变式)[母题]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．[破题关键点](1)讨论f′(x)的符号是正的还是负的；(2)转化为f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．[解析](1)f′(x)＝3x2－a.①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±3a3；当x＞3a3或x＜－3a3时，f′(x)＞0；当－3a3＜x＜3a3时，f′(x)＜0.因此f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；当a＞0时，f(x)在－∞，－3a3，3a3，＋∞上为增函数，在－3a3，3a3上为减函数．(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．[子题1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解：因为f′(x)＝3x3－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．[子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．解：由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．[子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值．解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.[子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．解：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3)．已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．易错警示：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．