2020届新高考数学艺考生总复习 第五章 数列 第3节 等比数列及其前n项和课件

高考总复习艺考生山东版数学第3节等比数列及其前n项和第五章数列最新考纲核心素养考情聚焦1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．4.体会等比数列与指数函数的关系1.等比数列的基本运算，达成逻辑推理和数学运算素养．2.等比数列的判定与证明，发展数学抽象和数学运算素养．3.等比数列的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，等比数列的性质，以及求a1、q、an、n、Sn的基本运算是高考的热点．高考考查形式多样，选择题、填空题主要考查等比数列的基本运算和性质，难度不大．在解答题中常与等差数列、数列求和等问题综合考查，难度中等1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数)，或an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)．3．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a2s，其中p，s，r∈N*.(2)等比数列{an}的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列.(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.等比数列的主要性质设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和．1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．2．Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.3．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．4．若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q.5．等比数列{an}的单调性当a10，q1或a10，0q1时，{an}为递增数列，当a10，0q1或a10，q1时，{an}为递减数列．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(5)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为()A．3B．－3C．－13D.13解析：D[{an}是公比为正数的等比数列，设公比为q，则a2·a6＝a24，∴a24＝9a4，∴a4＝9.∴q2＝a4a2＝9.∴q＝3.∴a1＝a2q＝13.故选D.]2．(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析：B[设顶层灯数为a1，q＝2，S7＝a11－271－2＝381，解得a1＝3.]3．(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2解析：C[应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错．设正数的等比数列{an}的公比为q，则a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1q＝2，∴a3＝a1q2＝4，故选C.]4．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则q＝________，S4＝________.答案：－4515．设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则k＝________.解析：设等比数列{an}公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝a3a1＝4，又{an}的各项均为正数，∴q＝2.而Sk＝1－2k1－2＝63，∴2k－1＝63，解得k＝6.答案：6考点一等比数列的基本运算(自主练透)[题组集训]1．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析：B[设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.]2．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.解析：设{an}的公比为q，则1＋q＋q2＝34，解得q＝－12，∴S4＝1－12＋14－18＝58.答案：583．(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.提醒：运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论．考点二等比数列的判定与证明(师生共研)[典例](2018·全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．逻辑推理——等比数列判定与证明中的核心素养根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻辑的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养．信息提取信息解读数学运算、逻辑推理已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an的递推关系式，求b1，b2，b3先求出a2，a3，再利用bn＝ann求b1，b2，b3着眼点1：数学运算：(1)先求出a2，a3；(2)再求出b1，b2，b3判断数列{an}是否为等比数列，并说明理由作出数列的类型作出判断并证明着眼点2：逻辑推理：定义法判定并证明数列{an}为等比数列求{an}的通项公式先求出数列{bn}的通项公式着眼点3：数学运算：(1)先求出数列{bn}的通项公式；(2)再求出{an}的通项公式[解析](1)由条件可得an＋1＝2n＋1nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[跟踪训练](2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.考点三等比数列的性质及应用(师生共研)[典例](1)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a27＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于()A．16B．8C．4D．2[解析]A[由等差数列性质得a2＋a12＝2a7，所以4a7－a27＝0，又a7≠0，所以a7＝4，b7＝4，由等比数列性质得b3b11＝b27＝16，故选A.](2)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.[解析]设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，[答案]14(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.[解析]由题意，得S奇＋S偶＝－240S奇－S偶＝80，解得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝S偶S奇＝－160－80＝2.[答案]2等比数列性质应用中的常见题型与求解策略：题型求解策略求基本量的值在解决等比数列的有关问题时，利用性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”可以减少运算量，提高解题速度．要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用确定单调性利用数列相邻两项的大小关系或求出公比，从而判断单调性求最大(小)值或比较大小根据题目条件，认真分析，确定首项与公比