2020年高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.5 平面直角坐标系中的距离公式课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步1.5平面直角坐标系中的距离公式自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握两点间的距离公式．2．掌握点到直线的距离公式．3．会求两条平行线间的距离.1．两点间的距离公式若两点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式：|AB|＝__________________________.x2－x12＋y2－y12练一练(1)已知A(－1，－1)，B(1,1)，则A，B两点间的距离为()A．1B．2C．2D．22答案：D2．点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离记为d，则d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.练一练(2)坐标原点(0,0)到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B．3C．2D．5答案：D3．平行线间的距离直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.练一练(3)两条平行线2x－y＋1＝0与y＝2x－2之间的距离是()A．1B．7C．355D．55答案：C1．两点间的距离公式有何用途？答：两点间的距离公式，反映了两点坐标与两点距离之间的关系，可以用它求两点距离，也可以用它求点的坐标．2．应用点到直线的距离公式对直线有何要求？答：公式中的直线为一般式，若解题中遇到的方程不是一般式，应先化为一般式．3．求两平行线间的距离应注意什么？答：用两平行线间的距离公式时，要把两直线化为一般式，且x，y对应项系数必须相同.典例精析规律总结课堂互动探究△ABC的三个顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求：(1)三边的长；(2)AB边上的中线CM的长．【解】(1)|AB|＝7－42＋5－12＝5，|BC|＝－4－72＋7－52＝55，|CA|＝[4－－4]2＋1－72＝10.(2)AB的中点M的坐标为：x＝4＋72＝112，y＝1＋52＝3，即M112，3，∴|CM|＝112－－42＋3－72＝5172.【规律总结】运用公式时，要注意所代坐标的对应顺序，必要时结合图形来分析问题．已知点A(5,12)，若P点在x轴上，且|PA|＝13，则P到原点的距离为________．解析：设点P坐标为(x,0)，由两点间的距离公式，得(x－5)2＋122＝132.则x－5＝±5，∴x＝10或x＝0，即P到原点的距离为10或0.答案：10或0已知一直线经过点P(1,2)，并且与点A(2,3)和B(0，－5)的距离相等，求此直线的方程．【解】(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1.点A和点B到直线x＝1的距离相等，均为1.(2)当直线斜率存在时，设该直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.由题意得|2k－3－k＋2|－12＋k2＝|5－k＋2|－12＋k2.解得k＝4，∴直线方程为4x－y－2＝0.综上知直线l的方程为x＝1或4x－y－2＝0.【规律总结】当直线与坐标轴垂直时，求点到直线的距离可不用距离公式，借助图像直接求出横坐标差的绝对值或纵坐标差的绝对值即得距离．运用距离公式时，务必把直线方程化为一般式．求经过直线l1：x＋y－3＝0和直线l2：2x－y＋8＝0的交点，且到点P(1,3)的距离为53的直线的方程．解：由x＋y－3＝0，2x－y＋8＝0，得两直线交点为－53，143，若过点－53，143的直线斜率不存在，则其方程为x＝－53，此时P(1,3)到x＝－53距离为83，不符合题意．则所求直线必存在斜率，设其方程为y－143＝kx＋53，即3kx－3y＋5k＋14＝0.由题意得：|3k×1－3×3＋5k＋14|3k2＋－32＝53，整理得：|8k＋5|＝5k2＋1，即39k2＋80k＝0，k＝0或k＝－8039.∴直线方程为3y－14＝0或240x＋117y－146＝0.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程．【解】∵所求直线与已知直线平行．∴设其方程为5x－12y＋C＝0.由两平行线间的距离公式可得：|C－6|52＋－122＝2，整理得|C－6|＝26，解得C＝32或C＝－20.∴直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.【规律总结】求两平行线间的距离，用距离公式时，要将两直线一般方程转化为x，y对应项系数分别相等的形式．两平行线间的距离也可能转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．两条相互平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求：(1)d的取值范围．(2)当d取最大值时两条直线的方程．解：(1)如图，显然有0d≤|AB|.而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310，故所求d的变化范围是(0,310]．=(2)由图知，当d取最大值时，两直线均垂直于AB，而kAB＝2－－16－－3＝13，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．【错解】设直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.∵l1∥l2，∴直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.由两平行线间的距离公式得|1＋5k|k2＋－12＝5，解得k＝125.∴l1的方程为125x－y＋1＝0，即12x－5y＋5＝0；l2的方程为125x－y－12＝0，即12x－5y－60＝0.【错因分析】错解默认为直线l1与l2存在斜率，漏掉了直线斜率不存在的情况．【正解】若直线l1斜率存在，则设直线l1的斜率为k，∵l1∥l2，∴l2的斜率也为k.由斜截式得l1的方程y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝|1＋5k|1＋k2＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝125.∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两点间的距离1．已知A(－2，－1)，B(2,5)，则|AB|等于()A．4B．10C．6D．213答案：D知识点二点到直线的距离2．点P(－2,1)到直线4x－3y＋1＝0的距离等于()A.45B．107C.125D．2解析：由题意知，d＝|－2×4－3×1＋1|42＋－32＝105＝2.答案：D知识点三平行线间的距离3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是()A.1710B．175C．8D．2解析：∵两直线平行，∴－34＝－6m，解得m＝8，代入直线方程得6x＋8y＋14＝0，即3x＋4y＋7＝0，∴两直线间距离d＝|7－－3|32＋42＝105＝2.答案：D知识点四距离公式的应用4．已知A(－2，－1)，B(a,3)且|AB|＝5，则a＝__________.解析：－2－a2＋－1－32＝5，整理得：a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1.答案：－5或15．已知点P(x，y)在直线x－y＋4＝0上，求x2＋y2的最小值．解：x2＋y2表示点P到坐标原点O(0,0)的距离的平方，当OP垂直于直线x－y＋4＝0时，x2＋y2取得最小值，即x2＋y2的最小值为原点O(0,0)到直线x－y＋4＝0的距离的平方．利用点到直线的距离公式，d2＝|1×0＋－1×0＋4|12＋－122＝8.所以x2＋y2的最小值为8.