2020年高中数学 第二章 解析几何初步 2 2.2 圆的一般方程课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步§2圆与圆的方程2.2圆的一般方程自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件．2．能熟练进行一般方程与标准方程的互化.1．将圆心为C(a，b)，半径是r的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.令－2a＝D，－2b＝E，a2＋b2－r2＝F，则任何一个圆的方程都可表示为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①配方得：x＋__2＋y＋___2＝____________.(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程①表示以_____________为圆心、12D2＋E2－4F为半径的圆．D2D2＋E2－4F4E2－D2，－E2(2)当________________时，方程①表示一个点____________.(3)当________________时，方程①不表示任何图形．D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F＜0－D2，－E2练一练(1)圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为()A．(1，－1)B．12，1C．(－1,2)D．－12，－1解析：圆的方程为x2＋y2＋x＋2y－10＝0.∴圆心坐标为－12，－1.答案：D2．当_____________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，我们把这个方程称为圆的一般方程．D2＋E2－4F＞0练一练(2)方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为(2,3)，半径为3的圆，则a，b，c的值依次是________．解析：方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0，配方得(x＋a)2＋y－b22＝a2＋b24－c.由题意得－a＝2，b2＝3，∴a＝－2，b＝6.r＝a2＋b24－c＝4＋9－c＝3，∴c＝4.答案：－2,6,41．圆的一般方程在形式上有什么特点？答：(1)x2与y2系数相等且不为0；(2)没有x·y项．2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆必须具备哪些条件？答：(1)A＝C≠0；(2)B＝0；(3)D2＋E2－4A·F＞0.典例精析规律总结课堂互动探究下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)x2＋y2－4x－2y－5＝0.【解】(1)x2与y2系数不相等，方程不表示圆．(2)含xy项，方程不表示圆．(3)(－2)2＋(－4)2－4×10＝－20＜0，此方程不表示圆．(4)(－4)2＋(－2)2－4×(－5)＞0，此方程表示圆，圆心坐标(2,1)，半径r＝402＝10.【规律总结】判断形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程是否表示圆，只需计算D2＋E2－4F，若此结果为正数，则方程表示以－D2，－E2为圆心，12D2＋E2－4F为半径的圆，否则不表示圆．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解：由方程可知，D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，∴当m＝2时，它表示一个点．当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时圆心为(2m，－m)，半径r＝12D2＋E2－4F＝5|m－2|.已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程，外心坐标和外接圆半径．【解】解法一：设三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，有1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，解得D＝－2，E＝2，F＝－23，∴三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25，∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.解法二：由题意可得kAB＝13，kAC＝－3，知三角形ABC为直角三角形，故外心是斜边即线段BC的中点(1，－1)，半径为12|BC|＝12－2－42＋3＋52＝5，外接圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，即x2＋y2－2x＋2y－23＝0.【规律总结】若已知圆上三点，求圆的方程，可设出圆的一般方程，利用“待定系数法”，求出D，E，F即可．也可以考虑圆的几何性质，利用性质分别求出圆心和半径，再写出圆的方程．已知一个圆过P(4,2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由已知|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程y2＋Ey＋F＝0的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.①将P，Q两点的坐标分别代入方程，得4D＋2E＋F＝－20，②D－3E－F＝10.③解①②③联立的方程组，得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10625，E＝－565，F＝48425.故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10625x－565y＋48425＝0.如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？【解】以圆拱桥顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)，设圆拱所在的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵原点在圆周上，∴F＝0，另外点A，点B在圆周上，∴40＋6D－2E＝0，40－6D－2E＝0，∴D＝0，E＝20，∴圆的方程为x2＋y2＋20y＝0.当水面下降1m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，如图所示，将A′的坐标(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝51，所以，水面下降1m后，水面宽为2x0＝251m.【规律总结】利用圆的方程解决实际问题时，关键是建立合适的坐标系，把实际问题抽象为数学问题，借助解析法可取得简便、精确的效果．如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造时每隔4m需用一支柱支撑，求支柱A2P2的长度？解：建立坐标系如图所示，圆心在y轴上，则P(0,4)，B(10,0)．设圆心坐标为(0，b)，半径为r，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.∵P，B在圆上，∴02＋4－b2＝r2，102＋0－b2＝r2.解得b＝－10.5，r2＝14.52.又点P2的横坐标为－2，代入圆的方程得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52.而点P2的纵坐标y＞0，故y＋10.5＝14.52－4，∴y≈14.36－10.5＝3.86(m)，∴支柱A2P2的长度约为3.86m.已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0外，求a的取值范围．【错解】∵A(a,2)在圆外，∴a2＋22－2a2－3×2＋a2＋a＞0，解得a＞2.【错因分析】对圆的一般方程的定义理解不深，对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有当D2＋E2－4F＞0时才表示圆．【正解】∵点A(a,2)在圆外，∴a2＋22－2a2－3×2＋a2＋a＞0，－2a2＋－32－4a2＋a＞0，化简得a＞2，a＜94，即2＜a＜94，∴a的取值范围是2，94.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一圆的一般方程的概念1．圆x2＋y2＋4x＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(－2,0)，2B．(－2,0)，4C．(2,0)，2D．(2,0)，4答案：A2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．k1B．k1C．k≥1D．k≤1解析：(－4)2＋22－4×5k0，解得k1.答案：B3．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．答案：(－2，－4)5知识点二求圆的一般方程4．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋0＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0，则圆的方程为x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝05．圆心在直线3x＋2y＝0上，并且与x轴交于A(－2,0)，B(6,0)两点的圆的一般方程是____________________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心C－D2，－E2，由题意得3×－D2＋2×－E2＝0，－22－2D＋F＝0，62＋6D＋F＝0，解得D＝－4，E＝6，F＝－12.∴所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0.答案：x2＋y2－4x＋6y－12＝0